TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ NEU | QUY TẮC ĐẠO HÀM CỦA TÍCH, THƯƠNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
Ngày: 26/12/2023
TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ NEU
ĐẠO HÀM CỦA TÍCH, THƯƠNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
Trong bài học hôm nay với chủ đề: "Đào hàm của tích, thương và đạo hàm cấp cao" với 2 nội dung chính như sau: sử dụng các quy tắc đạo hàm của tích, thương; định nghĩa và cách tính đạo hàm cấp cao. Bài học bao gồm lý thuyết, bài tập vận dụng và là tổng hợp kiến thức trọng tâm dựa theo chương trình học tại trường NEU nên đảm bảo chính xác đến 100%. Xem ngay !
1. Các quy tắc tính đạo hàm của tích và của thương.
♦ Đạo hàm của tích:Nếu các hàm số f(x) và g(x) khả vi tại x thì tích f(x).g(x) cũng khả vi tại x và
(f.g)′=f′.g+f.g′
♦ Đạo hàm của thương
Nếu f(x) và g(x) khả vi tại x và g(x)≠0 thì thương f(x)/g(x) cũng khả vi tại x và
(f/g)′=(f′.g-f.g′)/g2
Xem thêm: Kỹ thuật tính đạo hàm nhanh
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số:
a. 𝑃(𝑥)=(𝑥−1)(3𝑥^2−2)
b. 𝑄(𝑥)=(𝑥^2−5𝑥+7)/2𝑥
Ví dụ 2: Tìm tốc độ thay đổi của doanh thu
Một nhà sản xuất xác định rằng 𝑡 tháng sau khi giới thiệu một sản phẩm mới ra thị trường, số lượng sản phẩm được sản xuất và bán được là 𝑥(𝑡)=𝑡^2+3𝑡 trăm đơn vị với giá 𝑝(𝑡)=−2𝑡^(3/2)+30 đô la mỗi đơn vị
a. Hãy biểu diễn hàm doanh thu 𝑅(𝑡) theo thời gian dưới dạng tích?
b. Tìm tốc độ thay đổi của doanh thu theo thời gian tại thời điểm 4 tháng sau? Doanh thu tăng hay giảm tại thời điểm đó?
Ví dụ 3: Tìm hiểu về thay đổi dân số
Linda Grant là một nhà sinh vật học nghiên cứu về tác động của một loại chất độc đến sự phát triển của vi khuẩn. Cô ấy phát hiện ra rằng, 𝑡 giờ sau khi đưa chất độc vào thì số lượng vi khuẩn trong mẻ cấy là 𝑃 triệu cá thể, với
a. 𝑃(𝑥)=(𝑥−1)(3𝑥^2−2)
b. 𝑄(𝑥)=(𝑥^2−5𝑥+7)/2𝑥
Ví dụ 2: Tìm tốc độ thay đổi của doanh thu
Một nhà sản xuất xác định rằng 𝑡 tháng sau khi giới thiệu một sản phẩm mới ra thị trường, số lượng sản phẩm được sản xuất và bán được là 𝑥(𝑡)=𝑡^2+3𝑡 trăm đơn vị với giá 𝑝(𝑡)=−2𝑡^(3/2)+30 đô la mỗi đơn vị
a. Hãy biểu diễn hàm doanh thu 𝑅(𝑡) theo thời gian dưới dạng tích?
b. Tìm tốc độ thay đổi của doanh thu theo thời gian tại thời điểm 4 tháng sau? Doanh thu tăng hay giảm tại thời điểm đó?
Ví dụ 3: Tìm hiểu về thay đổi dân số
Linda Grant là một nhà sinh vật học nghiên cứu về tác động của một loại chất độc đến sự phát triển của vi khuẩn. Cô ấy phát hiện ra rằng, 𝑡 giờ sau khi đưa chất độc vào thì số lượng vi khuẩn trong mẻ cấy là 𝑃 triệu cá thể, với
𝑃(𝑡)=(𝑡+1)/(𝑡^2+𝑡+1)
a) Tại thời điểm Linda đưa chất độc vào môi trường nuôi cấy (𝑡=0), số lượng vi khuẩn trong môi trường thay đổi với tốc độ bằng bao nhiêu? Tại thời điểm đó vi khuẩn tăng hay giảm?
b) Thời điểm nào vi khuẩn đạt tới đỉnh và bắt đầu giảm? Số lượng vi khuẩn tăng thêm bao nhiêu trước khi bắt đầu giảm?
2. Đạo hàm cấp hai
♦ Đạo hàm cấp hai của một hàm số là đạo hàm của đạo hàm của hàm số đó.
♦ Ký hiệu đạo hàm cấp hai của hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) là 𝑓′′(𝑥) hoặc (𝑑2𝑦)/(𝑑𝑥2 )
♦ Đạo hàm cấp hai của một hàm số biểu thị tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số đó
Chú ý: Hàm gia 𝑎(𝑡) của một vật chuyển động thẳng là đạo hàm của hàm vận tốc 𝑣(𝑡), do đó là đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường 𝑠(𝑡)
♦ Ký hiệu đạo hàm cấp hai của hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) là 𝑓′′(𝑥) hoặc (𝑑2𝑦)/(𝑑𝑥2 )
♦ Đạo hàm cấp hai của một hàm số biểu thị tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số đó
Chú ý: Hàm gia 𝑎(𝑡) của một vật chuyển động thẳng là đạo hàm của hàm vận tốc 𝑣(𝑡), do đó là đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường 𝑠(𝑡)
𝑎(𝑡)=(𝑑2𝑠)/(𝑑𝑡2 )
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số
a. 𝑦=5𝑥^4−3𝑥^2−3𝑥+7
b. 𝑦=𝑥^2 (3𝑥+1)
Ví dụ 2: Tính tốc độ thay đổi của tốc độ sản xuất
Một nghiên cứu về hiệu quả sản xuất tại một nhà máy cho thấy, trung bình một công nhân đến làm việc lúc 8 giờ sáng sẽ sản xuất được 𝑄(𝑡)=−𝑡3+6𝑡2+24𝑡 đơn vị sản phẩm 𝑡 giờ sau đó.
a. Tính tốc độ sản xuất của công nhân tại thời điểm 11 giờ sáng
b. Tốc độ sản xuất của công nhân ở thời điểm 11 giờ sáng thay đổi với tốc độ bằng bao nhiêu?
Ví dụ 3: Tính vận tốc và gia tốc
Giả sử quãng đường đi được của một vật chuyển động thẳng tại thời điểm 𝑡 được cho bởi
𝑠(𝑡)=𝑡3−3𝑡2+4𝑡
Tìm vận tốc và gia tốc của vật
3. Đạo hàm cấp cao
♦ Với 𝑛 là số nguyên dương bất kỳ, đạo hàm cấp 𝑛 của một hàm số được xác định bằng cách lấy đạo hàm của hàm số đó liên tiếp 𝑛 lần
♦ Đạo hàm cấp 𝑛 của hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) được ký hiệu là
𝑓𝑛 (𝑥) hoặc (𝑑𝑛 𝑦)/(𝑑𝑥𝑛 )
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp cao
Tính đạo hàm cấp 5 của các hàm số
a. 𝑦=4𝑥3+5𝑥2+6𝑥−1
b. 𝑦=1/𝑥
♦ Đạo hàm cấp 𝑛 của hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) được ký hiệu là
𝑓𝑛 (𝑥) hoặc (𝑑𝑛 𝑦)/(𝑑𝑥𝑛 )
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp cao
Tính đạo hàm cấp 5 của các hàm số
a. 𝑦=4𝑥3+5𝑥2+6𝑥−1
b. 𝑦=1/𝑥
BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Cho ℎ(𝑥)=(𝑥2+3)𝑔(𝑥) và biết 𝑔(2)=3, 𝑔′(2)=−2. Tính ℎ′(2)
2. Cho 𝑘(𝑥)=(𝑥3+𝑥𝑔(𝑥))/(3𝑥−5) và biết 𝑔(−1)=0, 𝑔'(−1)=1. Tính ℎ′(−1)
3. Biết rằng 𝑡 giờ sau khi uống, nồng độ thuốc trong máu của một bệnh nhân là
2. Cho 𝑘(𝑥)=(𝑥3+𝑥𝑔(𝑥))/(3𝑥−5) và biết 𝑔(−1)=0, 𝑔'(−1)=1. Tính ℎ′(−1)
3. Biết rằng 𝑡 giờ sau khi uống, nồng độ thuốc trong máu của một bệnh nhân là
𝐶(𝑡)=2𝑡/(3𝑡^2+16)
a) Tính tốc độ thay đổi 𝑅(𝑡) của nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm 𝑡 giờ sau khi uống? 𝑅(𝑡) thay đổi với tốc độ như thế nào tại thời điểm 𝑡?
b) Tính tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong cơ thể 1 giờ sau khi uống? Nồng độ thuốc đang tăng hay giảm tại thời điểm đó?
c) Nồng độ thuốc trong cơ thể bắt đầu giảm tại thời điểm nào?
d) Nồng độ thuốc trong cơ thể thay đổi với tốc độ giảm dần trong khoảng thời gian nào?
b) Tính tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong cơ thể 1 giờ sau khi uống? Nồng độ thuốc đang tăng hay giảm tại thời điểm đó?
c) Nồng độ thuốc trong cơ thể bắt đầu giảm tại thời điểm nào?
d) Nồng độ thuốc trong cơ thể thay đổi với tốc độ giảm dần trong khoảng thời gian nào?
Trên đây là toàn bộ kiến thức về phần "Đào hàm của tích, thương và đạo hàm cấp cao" thuộc môn toán cho các nhà kinh tế trường NEU. Hi vọng các bạn sinh viên NEU đã có một bài học bổ ích, đừng quên, Ôn thi sinh viên thường chia sẻ đề thi và tài liệu của các trường đại học toàn quốc ở fanpage: Onthisinhvien.com. Mời bạn ghé qua !
Chúc bạn học tập hiệu quả - đạt kết quả cao!
Xem thêm:
Kỹ thuật tính đạo hàm nhanh chóng
Đào hàm của hàm hợp
Hàm đa biến trong Giải tích
Liên hệ tương tác trực tiếp qua zalo: 0359.286.819 (chị Linh - giải quyết khó khăn môn Nguyên lý kế toán, Kế toán tài chính TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC)
💥Giải đáp FREE các câu hỏi về NGUYÊN LÝ KẾ TOÁN
💥Nhận gia sư 1-1 cấp tốc cho người mất gốc (online/offline)
💥Nhận booking giải bài tập về nhà, đề cương ôn tập , làm mẫu các đề thi (có đáp án và giải thích chi tiết)
Đọc chi tiết dịch vụ tại đây
📍 KHÔNG NHẬN THI HỘ - HỌC LÀ HIỂU BẢN CHẤT