TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ NEU
CÁC KỸ THUẬT TÍNH ĐẠO HÀM 

1. Các kỹ thuật tính đạo hàm

a)  f(x)=-7/√x

b)  g(x)=2x^5-3x^(-7)

c)  h(x)=5x^3-4x^2+12x-8

Ví dụ 2: Ước tính rằng 𝑥 tháng sau kể từ thời điểm hiện tại, tổng dân số ở một địa phương là:
𝑃(𝑥)=𝑥^2+20𝑥+8,000
a) Tính tốc độ thay đổi dân số theo thời gian ở tháng thứ 15?
b) Thay đổi dân số thực tế là bao nhiêu trong tháng thứ 16? 

Xem giải chi tiết: GIẢI CHI TIẾT VÍ DỤ 1, 2
 

2. Tốc độ thay đổi tương đổi và tốc độ thay đổi phần trăm

Tốc độ thay đổi tương đối của 𝑄(𝑥) theo 𝑥 được tính bởi công thức:

(𝑄^′ (𝑥))/𝑄(𝑥)  

Tốc độ thay đổi phần trăm của 𝑄(𝑥) theo 𝑥 được tính bởi công thức: 

    100∗(𝑄^′ (𝑥))/𝑄(𝑥) 

Ví dụ 1: Tổng sản phẩm trong nước (GDP) của một quốc gia 𝑡 năm sau kể từ năm 2000 là  𝑁(𝑡)=𝑡^2+5𝑡+106 tỷ đô la
a. Tính tốc độ thay đổi của GDP theo thời gian vào năm 2010
b. Tính tốc độ thay đổi phần trăm của GDP theo thời gian vào năm 2010
 

Xem thêm: Hàm đa biến trong Toán cho các nhà kinh tế

Ví dụ 2: Các thí nghiệm chỉ ra rằng sinh khối 𝑄(𝑡) của một loài cá sống ở một khu vực dưới đại dương thay đổi với tốc độ là:

𝑑𝑄/𝑑𝑡=𝑟𝑄(1−𝑄/𝑎)

trong đó 𝑟 là tốc độ tăng trưởng tự nhiên của loài và 𝑎 là một hằng số. 
a. Tính tốc độ tăng trưởng phần trăm của loài cá
b. Nếu sinh khối 𝑄(𝑡)>𝑎 thì có thể kết luận gì về tốc độ tăng trưởng của loài cá?
 

3. Chuyển động thẳng

♦ Nếu vị trí tại thời điểm 𝑡 của một vật di chuyển dọc theo một đường thẳng là 𝑠(𝑡) thì
⇒Vật có vận tốc 𝑣(𝑡)=𝑠^′ (𝑡)=𝑑𝑠/𝑑𝑡
⇒Vật có gia tốc 𝑎(𝑡)=𝑣^′ (𝑡)=𝑑𝑣/𝑑𝑡

♦ Vật được gọi là đang tiến lên nếu 𝑣(𝑡)>0, đang lùi lại nếu 𝑣(𝑡)<0, đứng yên nếu 𝑣(𝑡)=0. 

♦ Vật đang tăng tốc nếu 𝑎(𝑡)>0 và đang giảm tốc nếu 𝑎(𝑡)<0 

Ví dụ: Tìm hiểu về chuyển động của 1 vật
Vị trí của một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng tại thời điểm 𝑡 được cho bởi

𝑠(𝑡)=𝑡^3−6𝑡^2+9𝑡+5

a. Tính vận tốc của vật và hãy mô tả chuyển động trong khoảng thời gian từ 𝑡=0 đến 𝑡=4
b. Tính quãng đường của đi được trong khoảng thời gian giữa 𝑡=0 và 𝑡=4
c. Tính gia tốc của vật và tìm khoảng thời gian vật đang tăng tốc? Giảm tốc giữa 𝑡=0 và 𝑡=4

Lời giải: XEM Ở ĐÂY

4. Chuyển động của vật phóng

Một vật được phóng lên theo phương thẳng đứng, gia tốc duy nhất tác động lên vật là gia tốc 𝑔 không đổi có chiều hướng xuống do lực hấp dẫn. Ở vị trí gần mực nước biển, 𝑔≈32 𝑓𝑡/𝑠^2 (tương đương 9.8𝑚/𝑠^2). Tại thời điểm 𝑡, độ cao của vật được tính theo công thức

𝐻(𝑡)=−1/2 𝑔𝑡^2+𝑉_0 𝑡+𝐻_0

trong đó 𝐻_0 và 𝑉_0 lần lượt là độ cao ban đầu và vận tốc ban đầu của vật

Ví dụ: Giả sử một người đứng trên đỉnh của một tòa nhà cao 112 feet và ném một quả bóng hướng lên trên theo phương thẳng đứng với vận tốc 96 ft/s.

Bài tập vận dụng:

3. Theo hồ sơ thuế, x năm sau kể từ năm 2008, thuế tài sản trung bình đối với một căn hộ 3 phòng ngủ ở một khu vực là:

T(x)=20x^2+40x+600 đô la