Nếu chưa xem phần 1, hãy xem nó ở ngay đây nhé:
Hướng dẫn giải bài tập Chương 1 Xác suất thống kê: Xác suất cổ điển (Phần 1)

Lần trước đang dừng ở bài 3 đúng không? Bây giờ chúng ta sẽ sang tiếp bài số 4 nhé. Okeyyyyy, Let's goooo.....

Bài 4: Có hai hộp bi. Hộp I có 6 bi đen và 4 bi trắng. Hộp II có 7 bi đen và 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi.
a. Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra cuối cùng cùng màu.
b. Biết rằng 2 viên bi lấy ra sau cùng là 2 viên bi đen, tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I bỏ vào hộp II cũng là 2 viên bi đen.
c. Tìm xác suất để lần 1 lấy được hai viên bi khác màu và lần thứ 2 được hai viên bi cùng màu.
Giải
Phân tích: Dạng bài mà cứ lấy hộp này bỏ vào hộp kia rồi bỏ tiếp vào hộp khác thì xong bắt tính xác suất cái lần bỏ đầu tiên thì chỉ có thể là dùng công thức Bayes mà thôi. 
Gọi    H1 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi đen"
          H2 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi trắng "
          H3 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 1 bi trắng + 1 bi đen "
 và nhớ là:   Hộp I : 6 đen | 4 trắng
                   Hộp II: 7 đen | 3 trắng
=> $P({{H}_{1}})=\frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$
{Giải thích: $C_{6}^{2}$- xác suất lấy 2 bi trong 6 bi đen
                   $C_{10}^{2}$- xác suất lấy 2 bi trong 10 bất kỳ}
*Tương tự như vậy* => $P\left( {{H}_{2}} \right)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{2}{15}$
$P\left( {{H}_{3}} \right)=\frac{C_{6}^{1}.C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{8}{15}${$C_{6}^{1}\,,\,\,C_{4}^{1}$giải thích tương tự như trên ấy)

Vậy {H1 , H2 , H3} là một hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố "Lấy 2 bi cùng màu ở hộp II "
Cùng màu ở đây có thể là "cùng màu trắng" hoặc "cùng màu đen", vậy là ta phải cộng xác suất cả 2 trường hợp này xảy ra:
=>$P(A/{{H}_{1}})=\frac{C_{9}^{2}+C_{3}^{2}}{C_{13}^{2}}=\frac{13}{22}$
=>$P(A/{{H}_{2}})=\frac{C_{7}^{2}+C_{5}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{31}{66}$
=>$P\left( A/H3 \right)=\frac{C_{8}^{2}+C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{17}{33}$.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
$P\left( A \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( A/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)$
$=\frac{1}{3}\times \frac{13}{22}+\frac{2}{15}\times \frac{31}{66}+\frac{8}{15}\times \frac{17}{33}=0,5343$

b, Biết rằng 2 viên bi lấy ra sau cùng là 2 viên bi đen, tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I bỏ vào hộp II cũng là 2 viên bi đen.
Gọi B là biến cố "Lấy 2 bi đen ở hộp II" 
Gọi    H1 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi đen"
          H2 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi trắng "
          H3 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 1 bi trắng + 1 bi đen "
và nhớ là:    Hộp I : 6 đen | 4 trắng
                   Hộp II: 7 đen | 3 trắng

=> $P({{H}_{1}})=\frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$
=> $P\left( {{H}_{2}} \right)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{2}{15}$
=> $P\left( {{H}_{3}} \right)=\frac{C_{6}^{1}.C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{8}{15}$
Vậy {H1 , H2 , H3} là một hệ đầy đủ
=> $P(B/{{H}_{1}})=\frac{C_{9}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{6}{11}$
=> $P(B/{{H}_{2}})=\frac{C_{7}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{7}{22}$
=> $P\left( B/H3 \right)=\frac{C_{8}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{14}{33}$
=> $P\left( B \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( B/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( B/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( B/{{H}_{3}} \right)$
$=\frac{1}{3}\times \frac{6}{11}+\frac{2}{15}\times \frac{7}{22}+\frac{8}{15}\times \frac{14}{33}=\frac{223}{495}$

Nhưng mà anh em đừng quên nhé, là mình phải tính xác suất của H1 khi B xảy ra, áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( {{H}_{1}}/B \right)=\frac{P({{H}_{1}}).P(B/{{H}_{1}})}{P\left( B \right)}=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{6}{11}}{\frac{223}{495}}=\frac{90}{223}=0,4036$


>>>6 bài tập chương 1 chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi cuối kỳ



c, Tìm xác suất để lần 1 lấy được hai viên bi khác màu và lần thứ 2 được hai viên bi cùng màu.
Cái này thì dựa vào ngay câu trên, ta đã có ở câu a
A là biến cố "Lấy được 2 bi cùng màu ở hộp II"
H3 là biến cố " Lấy từ hộp I sang hộp II 1 bi trắng + 1 bi đen" (2 viên khác màu)
=> Ta cần tính P(H3A)
$P\left( {{H}_{3}}A \right)=P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)=\frac{8}{15}\times \frac{17}{33}=\frac{136}{195}=0,2747$

 

Bài 5: Trong một kho có chứa sản phẩm do 3 nhà máy sản xuất. Sản phẩm của nhà máy I chiếm 40%; sản phẩm của nhà máy II chiếm 30%; và của nhà máy III chiếm 30% tổng số sản phẩm của kho. Tỷ lệ chính phẩm của nhà máy I là 90%; nhà máy II là 80% và nhà máy III là 85%. Người ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm và được phế phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó do nhà máy III sản xuất.
Giải
Gọi    H1 là biến cố "Sản phẩm lấy ra thuộc nhà máy I"
          H2 là biến cố " Sản phẩm lấy ra thuộc nhà máy II"
          H3 là biến cố " Sản phẩm lấy ra thuộc nhà máy III"
=> P(H1) = 0,4
=> P(H2) = 0,3
=> P(H3) = 0,3
 Gọi A là biến cố "Sản phẩm lấy ra là phế phẩm"
$P\left( A/{{H}_{1}} \right)=0,1$.
$P\left( A/{{H}_{2}} \right)=0,2$
$P\left( A/{{H}_{3}} \right)=0,15$
{Giải thích: Nhà máy 1 có tỷ lệ chính phẩm là 90% hay 0,9 => Tỷ lệ phế phẩm của nó sẽ là 100 - 90 = 10% hay 0,1! Làm tương tự với 2 nhà máy còn lại}
=> $P\left( A \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( A/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)$.
$=0,4\times 0,1+0,3\times 0,2+0,3\times 0,15=0,145$
Vậy tỷ lệ sản phẩm đó lấy từ nhà máy III là:
$P\left( {{H}_{3}}/A \right)=\frac{P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,3\times 0,15}{0,145}=0,3103$

 
Bài 6 Một trạm y tế có 8 bác sĩ, 12 y tá và 6 hộ lý. Chọn ngẫu nhiên một nhóm 5 người cán bộ y tế của trạm.
          a) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có ít nhất một bác sĩ.
          b) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có một bác sĩ, một hộ lý và 3 y tá.
Giải
a) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có ít nhất một bác sĩ.
Thần chú bây giờ là cứ nhắc tới "ít nhất 1" là mình chơi biến cố đối nhé.
Gọi A là biến cố "5 người có ít nhất 1 bác sĩ"
=> $\bar{A}$là biến cố "5 người ấy đếch có ông bác sĩ nào"
=> $P\left( {\bar{A}} \right)=\frac{C_{18}^{5}}{C_{26}^{5}}=\frac{2142}{16445}$
Vậy xác suất để 5 người ấy có ít nhất một bác sĩ :
\[P\left( A \right)=1-P\left( {\bar{A}} \right)=1-\frac{2142}{16445}=0,8698\]
b) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có một bác sĩ, một hộ lý và 3 y tá.
Cái này thì quá dễ cmnl:
Gọi B là biến cố 5 người được chọn có 1 bác sĩ, 1 hộ lý và 3 ý tá
$P\left( B \right)=\frac{C_{8}^{1}.C_{6}^{1}.C_{12}^{3}}{C_{26}^{5}}=\frac{48}{299}=0,1605$

 
Bài 7: Trong một kho sản phẩm của nhà máy có 7 hộp sản phẩm của phân xưởng 1; 5 hộp sản phẩm của phân xưởng 2 và 4 hộp sản phẩm của phân xưởng 3. Tỷ lệ phế phẩm của mỗi phân xưởng tương ứng là 5%; 9% và 15%.
          a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ kho, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm.
          b) Giả sử sản phẩm lấy được là chính phẩm. Tính xác suất để lấy được sản phẩm của phân xưởng 1.
Giải
a, Lấy ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ kho, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm.
Gọi    H1 là biến cố "Lấy hộp sản phẩm từ nhà máy số 1"
          H2 là biến cố "Lấy hộp sản phẩm từ nhà máy số 2"
          H3 là biến cố "Lấy hộp sản phẩm từ nhà máy số 3"
=> $P\left( {{H}_{1}} \right)=\frac{7}{7+5+4}=\frac{7}{16}$
=> $P\left( {{H}_{2}} \right)=\frac{5}{7+5+4}=\frac{5}{16}$
=> $P\left( {{H}_{3}} \right)=\frac{4}{7+5+4}=\frac{4}{16}$
Vậy hệ {H1 ; H2 ; H3 } là một hệ đầy đủ.
Gọi    A là biến cố "Lấy ra sản phẩm chính phẩm)
P(A/H1) = 0,95
P(A/H2) = 0,91
P(A/H3) = 0,85
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
$P\left( A \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( A/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)$
$=\frac{7}{16}\times 0,95+\frac{5}{16}\times 0,91+\frac{4}{16}\times 0,85=0,9125$

 b) Giả sử sản phẩm lấy được là chính phẩm. Tính xác suất để lấy được sản phẩm của phân xưởng 1
Tức là tính P(H1/A)
$P\left( {{H}_{1}}/A \right)=\frac{P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)}{P\left( A \right)}=\frac{\frac{7}{16}\times 0,95}{0,9125}=0,4555$