ĐỀ THI GIỮA KỲ LẦN 1 - GIẢI TÍCH 3 KỲ 2023.2
Nhóm ngành 1 - Mã học phần MI1131

Câu hỏi chọn 1 đáp án đúng
Câu 1. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n-1}}}{\left( n+1 \right){{5}^{n}}}}$
A.$\left[ -5,5 \right)$      B.$\left[ \frac{-1}{5},\frac{1}{5} \right]$    C.$\left( \frac{-1}{5},\frac{1}{5} \right)$                 D.$\left[ -5,5 \right]$
Câu 2. Chuỗi số nào sau đây thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ
A.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\sin \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)}$         B $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\tan \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)}$             C.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\cos \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)}$         D. $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\ln n}{n+1}}$
Câu 3.Miền hội tụ của chuỗi hàm số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}} \right){{x}^{n}}}$ là:
A.$\left\{ 0 \right\}$                 B.$\mathbb{R}$            C.$-1\le x<1$                 D.$-1\le x\le 1$
Câu 4.Với giá trị nào của $\alpha $thì chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{1+{{n}^{\alpha -1}}}}$là chuỗi bán hội tụ
A.$1<\alpha \le 2$                   B.$-1\le \alpha \le 0$      C.$0\le \alpha \le 1$                 D.$\alpha \le 0$
Câu 5.Với giá trị nào của $\alpha $thì chuỗi số $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{n}{\left( {{n}^{2}}+1 \right){{\ln }^{\alpha }}n}}$là chuỗi hội tụ
A.$-1\le \alpha \le 0$      B.$\alpha \le -1$             C.$0\le \alpha \le 1$                 D.$\alpha >1$
Câu 6.Hệ số của $\sin 3x$trong khai triển Fourier của hàm số $f\left( x \right)=\frac{x}{2}$với $x\in \left( -\pi ,\pi  \right)$là:
A.${{b}_{3}}=0$          B.${{b}_{3}}=\frac{2}{3}$    C.${{b}_{3}}=\frac{1}{3}$              D.${{b}_{3}}=\frac{\pi }{3}$
Câu 7.Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\sin n}{n!}}$.Khẳng định nào sau đây đúngA.Chuỗi hội tụ tuyệt đối
B.Chuỗi bán hội tụ
C.Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
D.Chuỗi phân kỳ
Câu 8.Cho hai chuỗi dương $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\infty $,Khẳng định nào sau đây đúng
A.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ thì $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=0$
B. Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$phân kỳ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$cũng phân kỳ
C.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ hội tụ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$cũng hội tụ
D.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ hội tụ thì $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$ Câu hỏi chọn nhiều đáp án
Câu 9.Trong các chuỗi số sau chuỗi nào hội tụ
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)}^{n}}}$            B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{-n}}}$                    C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}}$
D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{-2{{n}^{2}}}}}$             E.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{-{{n}^{2}}}}}$
Câu 10.Chuỗi hàm số nào sau đây không hội tụ đều trên $\mathbb{R}$
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin nx}{{{n}^{2}}+1}}$                B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{{{n}^{2}}+1}}$                    C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{nx}{{{n}^{2}}+1}}$
D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\cos nx}{{{n}^{2}}+1}}$                  E.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\cos \left( nx \right){{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}}$
Câu 11.Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\sqrt{n}}{{{n}^{2}}+1}}$ . Tìm các khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.Chuỗi phân kỳ do vi phạm điều kiện cần của chuỗi Hội tụ
B.Chuỗi bán hội tụ
C.Chuỗi hội tụ tuyệt đối nên hội tụ
D.Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert
E.Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
Câu 12.Trong các chuỗi sau đây chuỗi số nào hội tụ
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{2n}-\sin \frac{1}{n} \right)}$                 B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{2n} \right)}$
C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \tan \frac{1}{2n}-\sin \frac{1}{2n} \right)}$                  D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n} \right)}$
E.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \cos \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n} \right)}$
Câu hỏi điền đáp án phù hợp
Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$tuần hoàn chu kỳ $T=2\pi $ và $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
  & -3khi-\pi <x<0 \\
 & 1+2xkhi0<x<\pi  \\
\end{align} \right.$
Chuỗi Fourier của $f\left( x \right)$hội tụ về  $\pi -1$ tại các điểm $\left( 2k+1 \right)\pi ,k\in \mathbb{Z}$và hội tụ về $-1$ tại các điểm $2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Câu 14: Khai triển Maclaurin của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{1-3{{x}^{2}}}}$ là:  $e\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -3 \right)}^{n}}{{x}^{2n}}}{n!}}$
Câu 15: Chuỗi hàm số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{x}^{n}}}{n{{3}^{n}}}}$ có tổng là:  $\ln \left| \frac{3}{x+3} \right|$

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KỲ LẦN 1 - GIẢI TÍCH 3 KỲ 2023.2

Câu hỏi chọn 1 đáp án đúng
Câu 1. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n-1}}}{\left( n+1 \right){{5}^{n}}}}$
A.$\left[ -5,5 \right)$      B.$\left[ \frac{-1}{5},\frac{1}{5} \right]$    C.$\left( \frac{-1}{5},\frac{1}{5} \right)$                 D.$\left[ -5,5 \right]$
HD: Khoảng hội tụ \[x\in \left( -5,5 \right)\]
Thay lần lượt $x=5$ và $x=-5$ vào ta được:
$\begin{align}
  & \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{5}^{n-1}}}{\left( n+1 \right){{5}^{n}}}=\frac{1}{5}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n+1}}\Rightarrow PK} \\
 & \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -5 \right)}^{n-1}}}{{{5}^{n}}\left( n+1 \right)}=\frac{-1}{5}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n+1}\Rightarrow HT}} \\
\end{align}$
Câu 2. Chuỗi số nào sau đây thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ
A.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\sin \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)}$         B $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\tan \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)}$             C.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\cos \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)}$         D. $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\ln n}{n+1}}$
HD:
$\begin{align}
  & \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln n}{n}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1/n}{1}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=0 \\
 & \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\ne 0\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\cos \left( \frac{\ln n}{n+1} \right)=\cos 0=1\Rightarrow C \\\end{align}$
Câu 3.Miền hội tụ của chuỗi hàm số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}} \right){{x}^{n}}}$ là:
A.$\left\{ 0 \right\}$                 B.$\mathbb{R}$            C.$-1\le x<1$                 D.$-1\le x\le 1$
HD: $\cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow 1-\cos x\sim\frac{{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow 1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\sim\frac{1}{2n}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{2n}}\Rightarrow $khoảng hội tụ là $\left( -1,1 \right)$
Thay lại $x=\pm 1$vào
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{2n}}\Rightarrow HT\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{2n}\Rightarrow PK}$
Câu 4.Với giá trị nào của $\alpha $thì chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{1+{{n}^{\alpha -1}}}}$là chuỗi bán hội tụ
A.$1<\alpha \le 2$                    B.$-1\le \alpha \le 0$      C.$0\le \alpha \le 1$                 D.$\alpha \le 0$
HD: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$ phân kỳ  và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ thì là Bán hội tụ
$\begin{align}
  & =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{1+{{n}^{\alpha -1}}}} \\
 & \frac{1}{1+{{n}^{\alpha -1}}}\sim\frac{1}{{{n}^{\alpha -1}}}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}PK\Leftrightarrow \alpha -1\le 1\Leftrightarrow \alpha \le 2 \\
\end{align}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{\alpha -1}}}}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}HT\Leftrightarrow \alpha -1>0\Leftrightarrow \alpha >1}$
Vậy $\Rightarrow 1<\alpha \le 2$
Câu 5.Với giá trị nào của $\alpha $thì chuỗi số $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{n}{\left( {{n}^{2}}+1 \right){{\ln }^{\alpha }}n}}$là chuỗi hội tụ
A.$-1\le \alpha \le 0$      B.$\alpha \le -1$             C.$0\le \alpha \le 1$                 D.$\alpha >1$
HD: $\frac{n}{\left( {{n}^{2}}+1 \right){{\ln }^{\alpha }}n}\sim\frac{1}{n{{\ln }^{\alpha }}n}\Rightarrow $hội tụ khi $\alpha >1$
Câu 6.Hệ số của $\sin 3x$trong khai triển Fourier của hàm số $f\left( x \right)=\frac{x}{2}$với $x\in \left( -\pi ,\pi  \right)$là:
A.${{b}_{3}}=0$          B.${{b}_{3}}=\frac{2}{3}$    C.${{b}_{3}}=\frac{1}{3}$              D.${{b}_{3}}=\frac{\pi }{3}$
Bấm máy tính 
Câu 7.Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\sin n}{n!}}$.Khẳng định nào sau đây đúng
A.Chuỗi hội tụ tuyệt đối
B.Chuỗi bán hội tụ
C.Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
D.Chuỗi phân kỳ
HD:
$\left| {{a}_{n}} \right|=\left| \frac{\sin n}{n!} \right|\le \frac{1}{n!}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n!}\Rightarrow HT}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|\Rightarrow HT\Rightarrow HTTD}$
Câu 8.Cho hai chuỗi dương $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\infty $,Khẳng định nào sau đây đúng
A.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ thì $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=0$
B. Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$phân kỳ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$cũng phân kỳ
C.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ hội tụ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$cũng hội tụ
D.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ hội tụ thì $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$
HD: Theo tiêu chuẩn ss 1 thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ cũng hội tụ nên $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=0$ theo điều kiện cần
Câu hỏi chọn nhiều đáp án
Câu 9.Trong các chuỗi số sau chuỗi nào hội tụ
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)}^{n}}}$dùng điều kiện cần$\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\frac{1}{e}\ne 0$                 
B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{-n}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)}^{n}}}$dùng điều kiện cần$\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\frac{1}{e}\ne 0$
C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}}$dùng Cauchy $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{n}}=e>1$
D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{-2{{n}^{2}}}}}$             E.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)}^{-{{n}^{2}}}}}$
DE dùng Cauchy tính được $C<1\Rightarrow $Hội tụ
.Câu 10.Chuỗi hàm số nào sau đây không hội tụ đều trên $\mathbb{R}$
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin nx}{{{n}^{2}}+1}}$                B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{{{n}^{2}}+1}}$                    C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{nx}{{{n}^{2}}+1}}$
D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\cos nx}{{{n}^{2}}+1}}$                  E.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\cos \left( nx \right){{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}}$
HD: Ta chọn $x>1$bất kỳ vào đáp án $B,C$thì ra phân kỳ
A,D dễ thấy $\left| {{u}_{n}}\left( x \right) \right|\le \frac{1}{{{n}^{2}}}\Rightarrow $HTĐ theo Weistrass
Với ý E.
$\begin{align}
  & \left| \cos \left( nx \right){{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}} \right|\le {{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}} \\
 & \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{n}}={{e}^{-2}}=\frac{1}{{{e}^{2}}}<1\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( 1-\frac{2}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}HT\Rightarrow HTD} \\
\end{align}$
Câu 11.Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\sqrt{n}}{{{n}^{2}}+1}}$ . Tìm các khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.Chuỗi phân kỳ do vi phạm điều kiện cần của chuỗi Hội tụ
B.Chuỗi bán hội tụ
C.Chuỗi hội tụ tuyệt đối nên hội tụ
D.Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert
E.Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
$\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\sqrt{n}}{{{n}^{2}}+1} \right|=\frac{\sqrt{n}}{{{n}^{2}}+1}\sim\frac{{{n}^{1/2}}}{{{n}^{2}}}=\frac{1}{{{n}^{3/2}}}\Rightarrow HT$vậy chuỗi HTTĐ
Câu 12.Trong các chuỗi sau đây chuỗi số nào hội tụ
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{2n}-\sin \frac{1}{n} \right)}$                 B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{2n} \right)}$
C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \tan \frac{1}{2n}-\sin \frac{1}{2n} \right)}$                  D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n} \right)}$
E.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \cos \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n} \right)}$
HD:
$\sin \frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}\Rightarrow \frac{1}{2n}-\sin \left( \frac{1}{n} \right)=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{2n}$ vậy PK
.$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x\left( \frac{1}{\cos x}-1 \right)=\sin x\left( \frac{1-\cos x}{\cos x} \right)\sim\frac{x.\frac{{{x}^{2}}}{2}}{{}}\sim\frac{{{x}^{3}}}{2}$
$\tan \frac{1}{2n}-\sin \frac{1}{2n}\sim\frac{1}{16{{n}^{3}}}$ vậy hội tụ
$\sin \frac{1}{2n}\sim\frac{1}{2n}-\frac{{{\left( \frac{1}{2n} \right)}^{3}}}{3!}\Rightarrow \frac{1}{n}-\sin \frac{1}{2n}\sim\frac{1}{2n}+\frac{1}{48{{n}^{3}}}$ vậu hội tụ
Câu hỏi điền đáp án phù hợp
Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$tuần hoàn chu kỳ $T=2\pi $ và $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
  & -3khi-\pi <x<0 \\
 & 1+2xkhi0<x<\pi  \\
\end{align} \right.$
Chuỗi Fourier của $f\left( x \right)$hội tụ về  $\pi -1$ tại các điểm $\left( 2k+1 \right)\pi ,k\in \mathbb{Z}$và hội tụ về $-1$ tại các điểm $2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\begin{align}
  & f\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{f\left( x_{0}^{+} \right)+f\left( x_{0}^{-} \right)}{2} \\
 & x=\left( 2k+1 \right)\pi \Rightarrow \frac{-3+1+2\pi }{2}=\pi -1 \\
 & x=2k\pi \Rightarrow \frac{-3+1}{2}=-1 \\
\end{align}$.
Câu 14: Khai triển Maclaurin của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{1-3{{x}^{2}}}}$ là:  $e\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -3 \right)}^{n}}{{x}^{2n}}}{n!}}$
${{e}^{t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{t}^{n}}}{n!}}\Rightarrow {{e}^{1-3{{x}^{2}}}}=e.{{e}^{-3{{x}^{2}}}}=e\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -3{{x}^{2}} \right)}^{n}}}{n!}}=e\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -3 \right)}^{n}}{{x}^{2n}}}{n!}}$
Câu 15: Chuỗi hàm số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{x}^{n}}}{n{{3}^{n}}}}$ có tổng là:  $\ln \left| \frac{3}{x+3} \right|$
$\begin{align}
  & S\left( X \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n}{{X}^{n}}}\Rightarrow S'\left( X \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{X}^{n-1}}} \\
 & =-1+X-{{X}^{2}}+...=\frac{-1}{1+X}\Rightarrow S\left( X \right)=-\ln \left| X+1 \right| \\ & X=\frac{x}{3}\Rightarrow -\ln \left| \frac{x}{3}+1 \right|=-\ln \left| \frac{x+3}{3} \right|=\ln \left| \frac{3}{x+3} \right| \\
\end{align}$
 

Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn! Nhận ngay nhiều tải liệu giải tích III được cập nhật mới nhất tại Góc ôn thi HUST - tài liệu và đề thi