ĐỀ KIỂM TRA LẦN 1,KỲ 20232

I.Câu hỏi chọn 1 đáp án đúng
Câu 1. Chuỗi nào hội tụ tuyệt đối trong các chuỗi sau
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\sin n}$              B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\sin \frac{1}{{{n}^{2}}}}$              C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{n+1}}}$                  D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{n}^{2}}}{2n+3}}$
HD: $\left| {{\left( -1 \right)}^{n}}\sin \frac{1}{{{n}^{2}}} \right|=\left| \sin \frac{1}{{{n}^{2}}} \right|\sim\frac{1}{{{n}^{2}}}$
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}}$ Hội tụ nên $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\sin \frac{1}{{{n}^{2}}}}$ hội tụ tuyệt đối
Câu 2.Miền hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{x}}}}$
A.$\mathbb{R}$                      B.$\left( 0,\infty  \right)$                    C.$\left[ 1,\infty  \right)$           D.$\left( 1,\infty  \right)$
.HD: Chuỗi hội tụ với $x>0$
Câu 3. Cho hàm $f$tuần hoàn chu kỳ $2\pi $ cho bởi $f\left( x \right)=\frac{x}{6}$ với $-\pi <x<\pi $.Các hệ số ${{a}_{5}}$và ${{b}_{5}}$trong khai triển Fourier của chuỗi $\frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{a}_{n}}\cos nx+{{b}_{n}}\sin nx \right)}$của hàm $f$được cho bởi:
A.${{a}_{5}}=0,{{b}_{5}}=\frac{1}{15}$                                               B.${{a}_{5}}=\frac{1}{15},{{b}_{5}}=0$        
C.${{a}_{5}}=0,{{b}_{5}}=\frac{-1}{15}$                                              D.${{a}_{5}}=-\frac{2}{15},{{b}_{5}}=0$
HD: $f\left( x \right)=\frac{x}{6}$ là hàm lẻ nên ${{a}_{5}}=0$
${{b}_{5}}=\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\sin \left( 5x \right)dx}=\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x\sin \left( 5x \right)}{6}dx}=\frac{1}{15}$
.Câu 4.Miền hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{n}}{{x}^{n}}}$là:
A.$\mathbb{R}\backslash \left( -3,3 \right)$                   B.$\left[ -3,3 \right]$                C.$\left( -3,3 \right)$            D.$\left[ -3,3 \right)$
HD: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{n}}{{x}^{n}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{x}{3} \right)}^{n}}}$ hội tụ với $\left| q \right|=\left| \frac{x}{3} \right|<1\Leftrightarrow x\in \left( -3,3 \right)$
Câu 5.Chuỗi nào sau đây phân kì
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}}$                   B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2{{n}^{2}}+1}{n+1}}$                   C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{n}}}$           D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{3}}+1}}$    
HD: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{n}^{2}}+1}{n+1}=+\infty \ne 0\Rightarrow $phân kỳ theo điều kiện cần
Câu 6.Chọn đáp án SAI?
A.Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ thì $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$
B.Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$hội tụ khi và chỉ khi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{c{{a}_{n}}}$ hội tụ với tất cả giá trị $c\in \mathbb{R}$
C.Nếu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}{{a}_{n}}=1$ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$hội tụ
D.Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$hội tụ thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$ cũng hội tụ
HD: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n}}$ hội tụ nhưng $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n} \right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}}$ Phân kỳ
Câu 7.Tìm hệ số của ${{\left( x-1 \right)}^{5}}$trong khai triển Taylor của hàm số $y=\frac{9}{2+x}$tại điểm ${{x}_{0}}=1$ là:
.A.$\frac{1}{81}$                             B.$\frac{-1}{243}$                 C.$\frac{1}{243}$                             D.$\frac{-1}{81}$
HD: $y=\frac{9}{2+x}\Rightarrow {{y}^{\left( 5 \right)}}=\frac{9{{\left( -1 \right)}^{5}}5!}{{{\left( 2+x \right)}^{6}}}\Rightarrow {{y}^{\left( 5 \right)}}\left( 1 \right)=\frac{-9.5!}{{{3}^{6}}}\Rightarrow {{a}_{5}}=\frac{{{y}^{\left( 5 \right)}}\left( 1 \right)}{5!}=\frac{-9}{{{3}^{6}}}=-\frac{1}{81}$
Câu 8.Chuỗi hội tụ là:
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}}$          B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{n}$           C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\cos n}$                        D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}}$
HD: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}}$ Chuỗi đan dấu Hội tụ theo Leibnitz II.Câu hỏi chọn nhiều đáp án đúng
Câu 9. Cho chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{2{{n}^{2}}+1}}}$.Tìm phát biểu đúng
A.Chuỗi hội tụ tuyệt đối                             B.Chuỗi bán hội tụ
C.Chuỗi hội tụ                                            D.Chuỗi phân kì
HD: $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{2{{n}^{2}}+1}}}$là chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz
+)$\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{2{{n}^{2}}+1}} \right|=\frac{1}{\sqrt{2{{n}^{2}}+1}}\sim \frac{1}{n\sqrt{2}}$
Mà $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n\sqrt{2}}}$ phân kỳ nên $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$ phân kỳ. Vậy chuỗi bán hội tụ tức là cũng hội tụ
Câu 10.Cho chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{x}}{{\ln }^{2}}n}}$.Tìm phát biểu đúng
A.Miền hội tụ chuỗi đã cho là $\left[ 1,\infty  \right)$    
B.Miền hội tụ chuỗi đã cho là $\left( 0,\infty  \right)$
C.Miền hội tụ chuỗi đã cho là $\left( 1,\infty  \right)$
D.Chuỗi đã cho hội tụ đều trên $\left[ 3,\infty  \right)$
HD:$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{a}}{{\ln }^{b}}n}}$ hội tụ khi $a>1$.Với $a=1$thì hội tụ khi $b>1$
 Chuỗi hội  tụ với $x>0$nên miền hội tụ là $\left( 0,\infty  \right)$
Mặt khác $x\ge 3\Rightarrow \left| \frac{1}{{{n}^{x}}{{\ln }^{2}}n} \right|<\frac{1}{{{n}^{3}}}\Rightarrow $chuỗi hội tụ đều trên $\left[ 3,\infty  \right)$
Câu 11.Chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$ hội tụ tại $x=2$và phân kì tại $x=5$. Tìm phát biểu đúng?
A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{6}^{n}}}$ hội tụ                                      B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{a}_{n}}{{7}^{n}}}$ hội tụ
C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ                                   D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{7}^{n}}}$ phân kỳ
HD: Chuỗi lũy thừa hội tụ tại $x=R$thì cũng sẽ hội tụ với $\forall x\in \left( -R,R \right)$
Chuỗi hội tụ với $\left| x \right|<2$ Và phân kì với $\left| x \right|>5$
Câu 12. Cho chuỗi dương $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$.Chọn phát biểu đúng
A.Nếu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=L<1$ thì chuỗi hội tụ
B.Nếu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=L\le 1$ thì chuỗi hội tụ
C.Nếu ${\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt[n]{{{a}_{n}}}}=L>1}$ thì chuỗi hội tụ
D.Nếu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=L\ge 1$ thì chuỗi hội tụ
HD: Theo Cauchy $L=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}$hội tụ với $L<1$và phân kì với $L>1$
III.Câu hỏi điền đáp án.
Câu 13: Khai triển Maclaurin của hàm $y=\frac{3x}{1+3x}$ là ……………
HD: $y=\frac{3x}{1+3x}=3x\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\left( 3x \right)}^{n}}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{3}^{n+1}}{{x}^{n+1}}}$
Câu 14: Tổng của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n+1}{{{2}^{n+6}}}}$ là ………………..
HD:
$\begin{align}
  & S\left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( n+1 \right){{x}^{n}}\Rightarrow \int{S\left( x \right)dx}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{x}^{n+1}}}=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}} \\
 & \Rightarrow S\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{2}}}{1-x} \right)}^{'}}=\frac{2x\left( 1-x \right)+{{x}^{2}}}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=\frac{2x-{{x}^{2}}}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}} \\
 & S=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n+1}{{{2}^{n+6}}}=\frac{1}{{{2}^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( n+1 \right){{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}}=\frac{1}{64}\times \frac{2.\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}{{{\left( 1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{64}.\frac{3/4}{1/4}=\frac{3}{64} \\
\end{align}$
Câu 15. Cho ví dụ về 2 chuỗi hội tụ $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ nhưng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}^{4}b_{n}^{6}}$ phân kì……………….
HD:$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{1/20}}}}\Rightarrow }$Hội tụ
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{1/10}}}\Rightarrow }$Hội tụ
Nhưng $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}^{4}b_{n}^{6}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{1/5}}}.\frac{1}{{{n}^{3/5}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{4/5}}}\Rightarrow }}$phân kì