ĐỀ KIỂM TRA HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 3 LẦN 1, KỲ 20231

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 3 LẦN 1,KỲ 20231

Thời gian làm bài :30 phút

Câu 1-8: Chọn 1 đáp án đúng

Câu 1.Tìm hệ số ${{x}^{5}}$trong khai triển Maclaurin của hàm số $y=\frac{1}{8+x}$

A.$\frac{-1}{{{8}^{5}}}$                            B.$\frac{1}{{{8}^{5}}}$                             C.$\frac{-1}{{{8}^{6}}}$                                D.$\frac{-1}{8}$

HD: $y=\frac{1}{8+x}=\frac{1}{8}.\frac{1}{1+\frac{x}{8}}=\frac{1}{8}\left( 1-x+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-{{x}^{5}}+... \right)$

Thay $x=\frac{x}{8}\Rightarrow $hệ số ${{x}^{5}}$là $\frac{1}{8}.\frac{-1}{{{8}^{5}}}=\frac{-1}{{{8}^{6}}}$

Câu 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{{{3}^{n}}}}$

A.$\left( -3,3 \right)$              B.$\left[ -3,3 \right)$               C.$\mathbb{R}\backslash \left[ -3,3 \right)$                          D.$\left[ -3,3 \right]$

HD: Chuỗi hội tụ khi $\left| q \right|=\left| \frac{x}{3} \right|<1\Leftrightarrow x\in \left( -3,3 \right)$

Câu 3.Khẳng định nào sau đây sai?

A.Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-x \right){{x}^{n}}}$hội tụ tại mọi $x\in \left[ 0,1 \right]$                      B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-x \right){{x}^{n}}=x}$,$\forall x\in \left[ 0,1 \right]$

C. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-x \right){{x}^{n}}}$không hội tụ đều trên$\left[ 0,1 \right]$      D. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-x \right){{x}^{n}}}$hội tụ tại $x=1$

HD: Thay $x=1\Rightarrow S\left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( 1-1 \right){{1}^{n}}}=0\ne 1$

Câu 4.Chuỗi số nào sau đây phân kỳ?

A.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}+1}}$                       B.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n}}$              C.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\ln }^{2}}n}}$                                 D.$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{e}^{n}}}}$

HD: Chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\ln }^{a}}n}}$ hội tụ với $a>1$(có thể dùng tiêu chuẩn tích phân để chứng minh)

Câu 5.Chuỗi số nào sau đây phân kỳ?

A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{{{n}^{4}}+1}}$                       B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{2}}}}$                C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\cos \left( \pi n \right)}{\sqrt{n}}}$                  D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{3}^{n}}}}$

HD: $\cos \left( \pi n \right)={{\left( -1 \right)}^{n}}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt{n}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{n}}}\Rightarrow $phân kỳ

Câu 6.Tìm miền Hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( \frac{x}{2}+\frac{n}{{{n}^{2}}+1} \right)}^{n}}}$

A.$\left( -2,2 \right)$              B.$\left( -3,0 \right)$               C.$\left( -2,0 \right)$                           D.$\left[ -3,0 \right)$

HD: $C=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\left| {{u}_{n}}\left( x \right) \right|}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{x}{2}+\frac{n}{{{n}^{2}}+1} \right|=\left| \frac{x}{2} \right|$

Chuỗi hội tụ khi $C<1\Leftrightarrow x\in \left( -2,2 \right)$

Tại$x=2\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{n}{{{n}^{2}}+1} \right)}^{n}}=e\ne 0\Rightarrow PK$

Tại $x=-2\Rightarrow \sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( -1+\frac{n}{{{n}^{2}}+1} \right)}^{n}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\left( 1-\frac{n}{{{n}^{2}}+1} \right)}^{n}}}}$

Có $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{n}{{{n}^{2}}+1} \right)}^{n}}=\frac{1}{e}\ne 0\Rightarrow $phân kỳ

Câu 7.Chuỗi số nào sau đây hội tụ?

A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$                    B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{n}}}$                      C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\cos \left( \frac{1}{{{n}^{4}}} \right)}$                         D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{n}}}$

HD: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{q}^{n}}}$có $\left| q \right|=\frac{1}{5}<1\Rightarrow $hội tụ

Câu 8. Chuỗi nào sau đây bán hội tụ

A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{4}}+1}}$                       B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}n}{{{n}^{2}}+1}}$            C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\cos n}{{{n}^{3}}}}$                     D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{3}^{n}}}}$

HD: $\left| {{a}_{n}} \right|=\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}n}{{{n}^{2}}+1} \right|=\frac{n}{{{n}^{2}}+1}\sim \frac{1}{n}$

Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$ phân kỳ $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$ phân kỳ

Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{2}}+1}}$ là chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz nên chuỗi trên bán hội tụ

Câu 9-12: Chọn tất cả các đáp án đúng

Câu 9.Cho chuỗi hàm số$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{{{n}^{4}}+{{x}^{4}}}}$. Khẳng định nào sau đây đúng

A.Chuỗi đã cho không hội đều trên $\mathbb{R}$              

B.Chuỗi đã cho bán hội tụ tại $x=1$

C.Miền Hội tụ của chuỗi là $\mathbb{R}$                           

D.Tổng của chuỗi đã cho khả tích trên mọi đoạn hữu hạn $\left[ a,b \right]$

E.Tổng của chuỗi đã cho không khả vi liên tục trên $\left[ 0,+\infty  \right)$

F.Chuỗi đã cho hội tụ tại $x=0$

HD:

A sai vì Chuỗi trên HTĐ trên $\mathbb{R}$do $\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{{{n}^{4}}+{{x}^{4}}} \right|\le \frac{1}{{{n}^{4}}}$ mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{4}}}}$hội tụ nên $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{{{n}^{4}}+{{x}^{4}}}}$ hội tụ đều theo Weistrass

B sai vì tại $x=1\Rightarrow $chuỗi HTTĐ

E sai vì ${{u}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{{{n}^{4}}+{{x}^{4}}}\Rightarrow u_{n}^{'}\left( x \right)=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}4{{x}^{3}}}{{{\left( {{n}^{4}}+{{x}^{4}} \right)}^{2}}}\Rightarrow $khả vi

C Đúng vì chuỗi HTTĐ trên $\mathbb{R}$nên miền hội tụ cũng là $\mathbb{R}$

D đúng vì tồn tại $\int{{{u}_{n}}\left( x \right)dx}$

F đúng vì miền hội tụ là $\mathbb{R}$

Câu 10.Giả sử chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$hội tụ tại $x=-6$ và phân kỳ tại $x=8$.Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{9}^{n}}{{a}_{n}}}$ hội tụ               B. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{5}^{n}}{{a}_{n}}}$ hội tụ                 

C. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -10 \right)}^{n}}{{a}_{n}}}$ phân kỳ               D. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ

E. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{3}^{n}}{{a}_{n}}}$ hội tụ               F. Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{a}_{n}}}{{{10}^{n}}}}$ phân kỳ

HD: Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$ hội tụ với $\left| x \right|<6$và phân kỳ với $\left| x \right|>8$nên chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$cũng vậy.

Ở ý A $x=9$,B là $x=5$ ,C là $x=-10$,D là $x=1$,E là $x=3$,F là $x=\frac{1}{10}$

Câu 11.Cho hai chuỗi dương $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$.Khẳng định nào sau đây sai?

A.Nếu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=1$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ hội tụ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ hội tụ

B.Nếu ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}},\forall n\ge 1$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$hội tụ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$cũng hội tụ

C. Nếu ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}},\forall n\ge 1$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$phân kỳ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$cũng phân kỳ

D. Nếu ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}},\forall n\ge 1$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$phân kỳ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$cũng phân kỳ

E. Nếu ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}},\forall n\ge 1$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$hội tụ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$cũng hội tụ

F.Nếu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=0$và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$hội tụ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$cũng hội tụ
HD: Tiêu chuẩn so sánh 1 và 2

.Câu 12.Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Tồn tại một chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$phân kỳ tại mọi $x\in \left( -\infty ,0 \right)$

\right)$  B. Tồn tại một chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$có miền hội tụ là $\left[ 0,+\infty

C. Tồn tại một chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$hội tụ tại mọi $x\in \left[ 0,+\infty  \right)$

D. Tồn tại một chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$hội tụ tại mọi $x\in \left( -3,1 \right)$và phân kỳ tại mọi $x\in \left( 2,5 \right)$

E. Tồn tại một chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$chỉ hội tụ tại $x=0$

F. Tồn tại một chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$hội tụ tại mọi $x\in \mathbb{R}$

HD: 
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n!}{{{x}^{n}}}}$phân kỳ với $\forall x\in \left( -\infty ,0 \right)$ vậy A đúng
Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$ hội tụ tại $x=k\Rightarrow $sẽ hôi tụ với $\forall \left| x \right|<k\Rightarrow $không tồn tại miền HT chuỗi lũy thừa là $\left[ 0,+\infty  \right)$vậy B sai
Chuỗi hội tụ trên $\mathbb{R}$thì cũng hội tụ trên $\left[ 0,+\infty  \right)$vậy C đúng
Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{n{{x}^{n}}}$chỉ hội tụ tại $x=0\Rightarrow $E đúng
Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{n!}}$ hội tụ với $\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $F đúng

Câu 13-15: Điền vào chỗ trống

Điền vào chỗ trống để được một phát biểu toán học đúng hoặc trả lời câu hỏi?

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của $a$sao cho chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n\sqrt{n}-2022}{2{{n}^{a-1}}+2023}}$ phân kỳ?......

$a\le \frac{7}{2}$

Câu 14.Chỉ ra một ví dụ về hai chuỗi hội tụ $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ sao cho chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}^{2021}b_{n}^{2021}}$ phân kỳ……………..   ?

  $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\sqrt[5000]{n}}}},\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( -1 \right)}{\sqrt[6000]{n}}}}$ (Có rất nhiều lựa chọn)

Câu 15. Tổng của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n\times {{5}^{n}}}}$là…………….   $\ln 5-\ln 6$

Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn! Nhận ngay nhiều tải liệu giải tích III được cập nhật mới nhất tại Góc ôn thi HUST - tài liệu và đề thi