Tổng hợp kiến thức trọng tâm nội dung Chuỗi số dương, Chuỗi số có dấu bất kỳ và Chuỗi hàm
I.CHUỖI SỐ DƯƠNG
1. Một số tính chất được áp dụng khi xét sự HT,PK của chuỗi.
a) Nếu ta có tổng $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}=S\in R$ thì ta nói chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$Hội tụ.
Ngược lại thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ Phân kỳ.
b) Cho chuỗi $\sum\limits_{n+1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$, nếu $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\ne 0\Rightarrow $chuỗi Phân kỳ. Đây chính là điều kiện cần của chuỗi hội tụ. Chú ý,nếu $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$ thì chưa kết luận được.
c) Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{\alpha }}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \alpha >1\Rightarrow HT \\
& \alpha \le 1\Rightarrow PK \\
\end{align} \right.$
d) Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{q}^{n}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \left| q \right|\ge 1\Rightarrow PK \\
& \left| q \right|<1\Rightarrow HT \\
\end{align} \right.$ (chú ý: $q$là hằng số)
2. Sự Hội tụ của tổng hai chuỗi
Giả sử ta có $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{c}_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}}}$
+)Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}},\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}}$ cùng Hội tụ thì chuỗi tổng $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{c}_{n}}}$Hội tụ
+)Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$Hội tụ,$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ Phân kỳ(hoặc ngược lại) thì chuỗi tổng $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{c}_{n}}}$Phân kỳ.
+)Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}},\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}}$ cùng Phân kỳ thì chưa kết luận được sự Hội tụ của chuỗi tổng $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{c}_{n}}}$
VD1: Xét sự HT của chuỗi.
a) $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{3}^{4n}}}{{{4}^{3n}}}}$b) $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{(-1)}^{n-1}}\cos \frac{2}{n}}$
-
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{{{3}^{4n}}}{{{4}^{3n}}}=\frac{{{81}^{n}}}{{{64}^{n}}}={{\left( \frac{81}{64} \right)}^{n}}$
$\left| q \right|=\left| \frac{81}{64} \right|>1\Rightarrow $chuỗi đã cho Phân kỳ.
-
Ta có $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| {{a}_{n}} \right|=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| {{(-1)}^{n-1}}\cos \frac{2}{n} \right|=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\cos \frac{2}{n}=\cos 0=1\ne 0$
Ta có $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| {{a}_{n}} \right|\ne 0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\ne 0$. Vậy chuỗi đã cho phân kỳ theo điều kiện cần.
2.Chuỗi số dương
2.1.Định nghĩa.
Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{a}_{n}}(1)}$ thoả mãn ${{a}_{n}}>0$với $\forall n\ge 1$. Khi đó ta gọi chuỗi (1) là chuỗi số dương.
2.2.Các tiêu chuẩn Hội tụ của chuỗi số dương.
2.2.1.Tiêu chuẩn D’Alambert.
Cho chuỗi số dương: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}(1)$
Ta xét giới hạn: $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& D>1\Rightarrow PK \\
& D<1\Rightarrow HT \\
\end{align} \right.$
Nếu $D=1$thì ta chưa kết luận được và phải dùng phương pháp khác.
VD2: Xét sự hội tụ của chuỗi sau.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{7}^{n}}}{{{\left( n! \right)}^{2}}}}(1)$
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{{{7}^{n}}}{{{\left( n! \right)}^{2}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow (1)$ là chuỗi số dương.
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \frac{{{7}^{n+1}}}{{{((n+1)!)}^{2}}} \right)}{\left( \frac{{{7}^{n}}}{{{(n!)}^{2}}} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{7}^{n+1}}.{{(n!)}^{2}}}{{{7}^{n}}{{\left( (n+1)! \right)}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{7}{{{(n+1)}^{2}}}=0<1$
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert.
Chú ý: Tiêu chuẩn D’Alambert thường áp dụng cho những chuỗi có chứa giai thừa,hàm mũ.
2.2.2. Tiêu chuẩn Cauchy.
Cho chuỗi số dương: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}(1)$
Ta xét giới hạn: $C=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& C>1\Rightarrow PK \\
& C<1\Rightarrow HT \\
\end{align} \right.$
Nếu $C=1$thì ta chưa kết luận được và phải dùng phương pháp khác.
VD3: Xét sự hội tụ của chuỗi sau.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{2}^{n}}}{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}}(1)$
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow (1)$ Là chuỗi số dương.
Xét $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\frac{1}{{{2}^{n}}}{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{{{n}^{2}}}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=\frac{e}{2}>1$
Vậy Chuỗi đã cho Phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.
Chú ý: Tiêu chuẩn Cauchy thường áp dụng cho các bài số hạng tổng quát có chữa ${{a}^{n}},{{u}^{v}}$ với $u,v$là các biểu thức của $n$.
Giới hạn đặc biệt:$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{an+b}{an+c} \right)}^{dn+e}}={{e}^{\frac{\left( b-c \right)d}{a}}}$
-Ở VD3a ta cũng có thể dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét hội tụ.
2.2.3.Tiêu chuẩn tích phân.
Cho chuỗi số dương: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}(1)$
Giả sử ta có ${{a}_{n}}=f(n)$. Trong đó $f(x)$ là một hàm số đơn điệu giảm trên $\left[ 1,+\infty ) \right.$.Khi đó ta có chuỗi (1) và Tích phân suy rộng $I=\int\limits_{1}^{+\infty }{f(x)dx}$ sẽ có cùng tính chất.
VD4: Xét sự Hội tụ của chuỗi số:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\ln }^{2}}n}}(1)$
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{n{{\ln }^{2}}n}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow (1)$ là chuỗi dương.
Xét $f(x)=\frac{1}{x{{\ln }^{2}}x}\Rightarrow f'(x)=\frac{-{{\left( x{{\ln }^{2}}x \right)}^{'}}}{{{x}^{2}}{{\ln }^{4}}x}=\frac{-\left( {{\ln }^{2}}x+2\ln x \right)}{{{x}^{2}}{{\ln }^{4}}x}<0,\forall x\ge 2.$
$\Rightarrow f(x)$là hàm đơn điệu giảm trên $\left[ 2,+\infty ) \right.$.
àChuỗi (1) và tích phân suy rộng $I=\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{x{{\ln }^{2}}x}}$ có cùng tính chất.
Mà $I=\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{x{{\ln }^{2}}x}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{2}^{a}{\frac{d(\ln x)}{{{\ln }^{2}}x}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-1}{\ln x} \right)\left| \begin{matrix}
a \\
2 \\
\end{matrix}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{\ln a}+\frac{1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2} \right.$
$\Rightarrow $TPSR Hội tụ. Vậy Chuỗi đã cho Hội tụ theo Tiêu chuẩn Tích phân.
2.2.4.Tiêu chuẩn so sánh.
2.2.4.1. Tiêu chuẩn so sánh 1.
Cho 2 chuỗi số dương: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$Thoả mãn ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}},\forall n\ge 1$ thì khi đó:
i.Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$Phân kỳ thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$Cũng Phân kỳ.
ii.Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$Hội tụ thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ cũng Hội tụ.
VD5: Xét sự hội tụ của chuỗi sau:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{\ln n}}(1)$
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{\ln n}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow (1)$ là chuỗi dương.
Xét ${{b}_{n}}=\frac{1}{n}$. Ta có với $\forall n\ge 2$thì ${{a}_{n}}=\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n}$
Mà $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n}}$ Phân kỳ.(Do $\alpha =1$)
Vậy chuỗi đã cho Phân kỳ theo Tiêu chuẩn so sánh 1.
Chú ý : Khi $n\to \infty $ta thường sử dụng các so sánh hơn kém sau.
$k<\ln n<{{n}^{a}}<n<{{n}^{b}}<{{c}^{n}}$ với $k$là hằng số bất kỳ,$0<a<1<b,c>1$ bất kỳ.
(Loga < luỹ thừa <hàm mũ)
Ta có thể chứng minh rất đơn giản như sau.
$\ln n<{{n}^{a}}$ với $a>0$ bất kỳ.
Xét $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{x}^{a}}}\left( \frac{\infty }{\infty } \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{a{{x}^{a-1}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{a{{x}^{a}}}=0$
Vậy có nghĩa là khi $x\to +\infty $ thì $\ln x<{{x}^{a}}$ với $a>0$bất kỳ. Tức là ta có thể hiểu là khi $n\to +\infty $thì $\ln n<{{n}^{a}}$ với $a>0$ bất kỳ.
.Tương tự ta dùng Lopital nhiều lần sẽ chứng minh được ${{n}^{b}}<{{c}^{n}}$ với $b,c>1$bất kỳ.
2.2.4.2.Tiêu chuẩn so sánh 2.
Cho 2 chuỗi số dương: $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$
Nếu $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=k\in R$ thì hai chuỗi sẽ có cùng tính chất.
VD6:Xét sự Hội tụ của chuỗi sau.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{n}^{2}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{{{n}^{7}}+1}}}$ (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{{{n}^{7}}+1}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow (1)$ là chuỗi dương.
Xét ${{b}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{3/2}}}$. Ta có:
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{{{n}^{7}}+1}}.\frac{{{n}^{3/2}}}{1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}.{{n}^{3/2}}}{{{n}^{7/2}}}=1$
(Ở đây ta dùng quy tắc ngắt bỏ các VCL bậc thấp)
Vậy 2 chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}},\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$ có cùng tính chất.
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{3/2}}}}$ Hội tụ.(Do $\alpha =3/2>1$)
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo Tiêu chuẩn so sánh 2.
Chú ý 1: Đối với những biểu thức đơn giản ta có thể dùng dấu ~ như sau.
Khi $n\to +\infty $ ta có ${{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{{{n}^{5}}+3n+1}}\sim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{{{n}^{5}}}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}$
Nhưng những câu phức tạp thì cần sử dụng $Lim$vào để xét $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$.
Chú ý 2: Ta sẽ kết hợp thêm các VCB trong GT1 vào để suy đoán và tìm dãy ${{b}_{n}}$hợp lý.
.Dãy VCB tương đương khi $x\to 0$như sau (thường coi $x=\frac{1}{n}$):
$\begin{align}
& x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim{{e}^{x}}-1\sim\ln (1+x) \\
& 1-\cos x\sim\frac{{{x}^{2}}}{2} \\
\end{align}$
II.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ.
1.Chuỗi đan dấu và tiêu chuẩn Leibnitz về sự hội tụ của chuỗi đan dấu.
1.1.Định nghĩa.
Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{(-1)}^{n}}{{a}_{n}}(1)}$ thoả mãn ${{a}_{n}}>0,\forall n\ge 1$
Khi đó ta gọi (1) là chuỗi đan dấu.
1.2.Tiêu chuẩn Leibnitz về sự Hội tụ của chuỗi đan dấu.
Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{(-1)}^{n}}{{a}_{n}}(1)}$ thoả mãn các điều kiện sau:
+) (1) là chuỗi đan dấu.
+) $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$
+) $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ là dãy giảm dần khi $n\to \infty $
Khi đó chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{(-1)}^{n}}{{a}_{n}}}$ Hội tụ theo Tiêu chuẩn Leibnitz.
VD7: Xét sự Hội tụ của chuỗi sau:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{n}}}{n\ln (n+1)}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{(-1)}^{n}}{{a}_{n}}}$ (1)
+)Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{n\ln (n+1)}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow $(1) là chuỗi đan dấu.
+)$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n\ln (n+1)}=0$
+)${{a}_{n}}=\frac{1}{n\ln (n+1)}>\frac{1}{(n+1)\ln (n+2)}={{a}_{n+1}}$ với $\forall n\ge 2\Rightarrow \left\{ {{a}_{n}} \right\}$là dãy giảm khi $n\to \infty $
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz về chuỗi đan dấu.
2. Chuỗi có dấu bất kỳ-Sự HTTĐ-Bán HT
Cho chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$. Trong đó dấu của ${{a}_{n}}$có thể thay đổi bất kỳ.
Ta xét sự Hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$.
+)Nếu $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$Hội tụ thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$Hội tụ tuyệt đối (HTTĐ).
+)Nếu $\left\{ \begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|PK} \\
& \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}HT} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$là chuỗi Bán Hội tụ (Hay là Hội tụ có điều kiện).
Chú ý: Chuỗi Bán hội tụ bản chất vẫn là hội tụ.
VD8:Xét sự Hội tụ của chuỗi số:
a)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin n}{{{n}^{2}}}}$ (1)
Ta có $\left| {{a}_{n}} \right|=\left| \frac{\sin n}{{{n}^{2}}} \right|\le \frac{1}{{{n}^{2}}}$
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}}$ Hội tụ $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}$ cũng Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1.
Vậy $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin n}{{{n}^{2}}}}$ Hội tụ tuyệt đối.
b)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{n}}}{n}}$
Có $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| \frac{{{(-1)}^{n}}}{n} \right|}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$ Phân kỳ.
Mặt khác $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{n}}}{n}}$ có:
+)${{b}_{n}}=\frac{1}{n}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $ (1) là chuỗi đan dấu.
+)$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=0$
+) ${{b}_{n}}=\frac{1}{n}<\frac{1}{n+1}={{b}_{n+1}}\Rightarrow \left\{ {{b}_{n}} \right\}$là giãy giảm khi $n\to \infty $.
Vậy chuỗi (1) Hội tụ theo Tiêu chuẩn Leibnitz.
Vậy $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{n}}}{n}}$ là chuỗi Bán Hội tụ.
3. Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy suy rộng.
Xét chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ là chuỗi có dấu bất kỳ.
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| {{a}_{n+1}} \right|}{\left| {{a}_{n}} \right|}$ (Hoặc $C=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\left| {{a}_{n}} \right|}$) thì khi đó ta có:
$\left\{ \begin{align}
& D(C)>1\Rightarrow PK \\
& D(C)<1\Rightarrow HT \\
\end{align} \right.$
Có nghĩa là tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy vẫn đúng khi ta áp dụng đối với chuỗi Giá trị tuyệt đối.
Tham gia lớp ôn thi cấp tốc Giải tích 2,3 ngay tại đây
Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn! Nhận ngay nhiều tải liệu giải tích III được cập nhật mới nhất tại Góc ôn thi HUST - tài liệu và đề thi
Liên hệ tương tác trực tiếp qua zalo: 0359.286.819 (chị Linh - giải quyết khó khăn môn Nguyên lý kế toán, Kế toán tài chính TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC)
💥Giải đáp FREE các câu hỏi về NGUYÊN LÝ KẾ TOÁN
💥Nhận gia sư 1-1 cấp tốc cho người mất gốc (online/offline)
💥Nhận booking giải bài tập về nhà, đề cương ôn tập , làm mẫu các đề thi (có đáp án và giải thích chi tiết)
Đọc chi tiết dịch vụ tại đây
📍 KHÔNG NHẬN THI HỘ - HỌC LÀ HIỂU BẢN CHẤT