Tóm tắt công thức xác suất thống kê

TỔNG HỢP KIẾN THỨC
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ

THỐNG KÊ MÔ TẢ

	Tổng thể (Population)	Mẫu (Sample)
Kích thước (size)	N	n
Liệt kê giá trị	(x1, x2,..., xN)	(x1, x2,..., xN)
Trung bình (mean)
Phương sai (variance)
Độ lệch chuẩn (standard deviation)
Hệ số biến thiên (Coef. of variation)
Tứ phân vị (Quartile)
Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range)
Giá trị chuẩn hóa (Z-score)	\[{{z}_{i}}=\frac{{{x}_{i}}-\mu }{\sigma }\]	${{z}_{i}}=\frac{{{x}_{i}}-\overset{-}{\mathop{x}}\,}{s}$
Hệ số bất đối xứng (Skewness)		${{a}_{3}}=\frac{\sum _{i=1}^{n}{{({{x}_{i}}-\overset{-}{\mathop{x}}\,)}^{3}}/n}{{{s}^{3}}}$
Hệ số nhọn (Kurtorsis)		${{a}_{4}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overset{-}{\mathop{x}}\,)}^{4}}}/n}{{{s}^{4}}}$ $Kurt=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overset{-}{\mathop{x}}\,)}^{4}}}/n}{{{s}^{4}}}-3$
Hiệp phương sai (Covariance)	\[Cov(X,Y)=\frac{\sum _{i=1}^{N}({{x}_{i}}-{{\mu }_{X}})({{y}_{i}}-{{\mu }_{y}})}{N}\]	\[Cov(X,Y)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}{({{x}_{i}}-\overset{-}{\mathop{x}}\,)({{y}_{i}}-\overset{-}{\mathop{y}}\,)}}{n-1}\]
Hệ số tương quan (Correlation coef.)

CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT

Xác suất theo định nghĩa cổ điển (Classical definition)
Xác suất theo định nghĩa thống kê (Statistical definition)	khi n đến vô cùng
Xác suất hai biến cố đối lập (Prob. of complement events)
Xác suất tích hai biến cố (Prob. of intersection)
Xác suất có điều kiện (Conditional probability)	P(A/B)=P(A.B)/P(B)
Hai biến cố độc lập (Independent events)	P(A/B)=P(B) và P(B/A)=P(B)
Nhiều biến cố độc lập toàn phần (Totally independent events)
Xác suất tổng hai biến cố (Prob. of union)
Hai biến cố xung khắc (Mutually exclusive events)
Nhiều biến cố xung khắc (Mutually exclusive events)
Công thức xác suất đầy đủ (Total probability)
Công thức Bayes (Bayes’s theorem)

Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạc		X	x1	x2	...	xn
		P(X)	p1	p2	...	pn
Hàm phân phối xác suất
Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục
kỳ vọng
Phương sai
Độ lệch chuẩn
Mốt

 

BIẾN NGẪU NHIÊN

Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

 

X/Y	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m	P(x1)
x2	p21	p22	...	p2m	P(x2)
:	:	:	...	:	:
xn	pn1	pn2	...	pnm	P(xn)
	P(y1)	P(y2)	...	P(ym)	1

Hiệp phương sai
Hệ số tương quan
Nếu  X, Y độc lập
Tính chất của kì vọng, phương sai Với c là hằng số	Kì vọng	Phương sai
		nếu các độc lập

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

 

Phân phối Không- một Bernoulli: A(p)	Công thức tính xác suất
	Tham số
Phân phối Nhị thức   Binomial: B(n,p)	Công thức tính xác suất
	Tham số
Phân phối Poisson	Công thức tính xác suất
	Tham số
Phân phối Đều Uniform: U(a,b)	Hàm mật độ
	Tham số
Phân phối Chuẩn Normal:	Hàm mật độ
	Tham số
	Chuẩn hóa
	Công thức xác suất	\[P(|X-\mu |<\varepsilon )=2.P(Z<\frac{\varepsilon }{\sigma })\]
	Quy tắc	\[P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )=0.6826\]
	Giá trị tới hạn
Phân phối Khi-bình phương Chi- squared: X2(n)	Giá trị tới hạn
Phân phối Student T(n)	Giá trị tới hạn
Phân phối Fisher	Giá trị tới hạn

MẪU NGẪU NHIÊN
 

Mẫu kích thước
Trung bình mẫu (sample mean)	; \[E(\overset{-}{\mathop{X}}\,)=\mu \]	; \[\frac{\overset{-}{\mathop{X}}\,-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim {{T}^{(n-1)}}\] khi \[X\sim N(\mu ,{{\sigma }^{2}})\] hoặc khi n đủ lớn   khi
hương sai mẫu (sample variance)		khi
Tần suất mẫu (sample proportion)	; \[E(\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,)=p\]	\[\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,\sim N(p,\frac{p(1-p)}{n})\] khi n đủ lớn
Hiệp phương sai mẫu (sample covariance)
Hệ số tương quan mẫu (sample correlation)	\[{{R}_{X,Y}}=\frac{Cov(X,Y)}{{{S}_{X}}{{S}_{Y}}}\]

ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Tính chất ước lượng điểm	Không chệch (unbiasness)
	Hiệu quả (efficient)	không chệch và  nhỏ nhất
Ước lượng hợp lý tối đa (maximum likelihood estimator)	Hàm hợp lý
	Tối đa hóa hàm hợp lý hoặc logarit hàm hợp lý	hoặc

KHOẢNG TIN CẬY (Confidence Interval)

Trung bình tổng thể khi không biết	Hai phía	hay
	Tối đa
	Tối thiểu
TB tổng thể khi biết	Hai phía
Phương sai tổng thể	Hai phía
Tần suất tổng thể	Hai phía	\[\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,-{{z}_{\alpha /2}}\frac{\sqrt{\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,(1-\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,)}}{\sqrt{n}}<p<\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,+{{z}_{\alpha /2}}\frac{\sqrt{\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,(1-\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,)}}{\sqrt{n}}\] hay

Kiểm đinh	Giả thuyết gốc Thống kê	Giả thuyết đối	Miền bác bỏ
Trung bình
tổng thể phân
phối chuẩn,
biết phương
sai tổng thể
Trung bình
tổng thể phân
phối chuẩn,
không biết
phương sai
tổng thể
Phương sai tổng thể phân phối chuẩn			\[\begin{align}   & {{X}^{2}}<X_{1-\alpha /2}^{2(n-1)} \\  & {{X}^{2}}>X_{\alpha }^{2(n-1)} \\ \end{align}\]
Tần suất tổng thể
		H1: p<p0

Kiểm định hai tham số, hai tổng thể, hai mẫu
 

Kiểm định	Giả thuyết gốc Thống kê	Giả thuyết đối	Miền bác bỏ
Hai trung bình tổng thể phân phối chuẩn, giả sử phương sai bằng nhau
			\[T<-t_{\alpha }^{({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)}\]
Hai trung bình tổng thể phân phối chuẩn, giả sử phương sai khác nhau	\[T=\frac{{{\overset{-}{\mathop{X}}\,}_{1}}-{{\overset{-}{\mathop{X}}\,}_{2}}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{S_{2}^{2}}{{{n}_{2}}}}}\] \[{{n}_{1}}>30,{{n}_{2}}>30\]		\[|T|>{{z}_{\alpha /2}}\]
		\[{{H}_{1}}:{{\mu }_{1}}>{{\mu }_{2}}\]	\[T>{{z}_{\alpha }}\]
		\[{{H}_{1}}:{{\mu }_{1}}<{{\mu }_{2}}\]
Hai phương sai tổng thể phân phối chuẩn	\[{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}\] \[F=\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\] \[{{H}_{0}}:{{p}_{1}}={{p}_{2}}\]	\[{{H}_{1}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2}\]	\[\begin{align}   & F>f_{_{\alpha /2}}^{({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)} \\  & F>f_{_{1-\alpha /2}}^{({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)} \\ \end{align}\]
		\[{{H}_{1}}:\sigma _{1}^{2}>\sigma _{2}^{2}\]	\[F>f_{\alpha }^{({{n}_{1-1}},{{n}_{2}}-1)}\]
		\[{{H}_{1}}:\sigma _{1}^{2}<\sigma _{2}^{2}\]	\[F>f_{_{1-\alpha }}^{({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)}\]
Hai tần suất tổng thể	\[\begin{align}   & {{H}_{0}}:{{p}_{1}}={{p}_{2}} \\  & Z=\frac{{{\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,}_{1}}-{{\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,}_{2}}}{\sqrt{\overset{-}{\mathop{p}}\,(1-\overset{-}{\mathop{p}}\,)(\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}})}} \\  & \overset{-}{\mathop{p}}\,=\frac{{{n}_{1}}{{\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,}_{1}}+{{n}_{2}}{{\overset{\wedge }{\mathop{p}}\,}_{2}}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}} \\ \end{align}\]	\[{{H}_{1}}:{{p}_{1}}\ne {{p}_{2}}\]	\[|Z|>{{z}_{\alpha /2}}\]
		\[{{H}_{1}}:{{p}_{1}}\ne {{p}_{2}}\]	\[Z>{{z}_{\alpha }}\]
		\[{{H}_{1}}:{{p}_{1}}<{{p}_{2}}\]	\[Z>-{{z}_{\alpha }}\]

Ôn thi sinh viên là hình thức học tập mới, cung cấp cho tất cả sinh viên giảng đường thứ 2 cung cấp kiến thức để mọi người có thể tự học tập và nghiên cứu. 

Hệ thống sẽ dựa trên kiến thức của từng trường đại học cùng với các bạn sinh viên xây dựng những bài giảng, bài thi phù hợp với thực tiễn học tập của sinh viên các trường. Các bài tập sẽ được phân loại theo từng phần => dễ học hơn, dễ nắm bắt được kiến thức hơn, biết được phần này sẽ học những dạng bài nào, cách giải chúng nó ra sao. Mất gốc cũng học được nha! Mỗi dạng bài tập luôn được giải chi tiết và mang văn phong "hướng dẫn" => Giải thích cho bạn hiểu tại sao lại ra đáp án này, tại sao lại dùng công thức này. Điều này sẽ giúp bạn "trơn tru" trong quá trình học tập, không sợ không hiểu tại sao bài này làm kiểu gì nữa.

Vậy nên hãy ấn link dưới đây nếu bạn đang tìm kiếm trải nghiệm học tập đáng nhớ nhé.
Chúc các bạn may mắn!!!