CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

1. Các dạng hàm số hay gặp:

1.1 Dạng chính tắc:

Cho thẳng mối quan hệ trực tiếp $x$ và $y$: $y=f\left( x \right)$

2. Giới hạn hàm số

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ khi đó ta có các giới hạn một phía.

$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ và $\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$

Giới hạn đặc biệt:$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=+\infty ,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=-\infty$

Nếu $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\Rightarrow$tồn tại $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L$$$

3. Sự liên tục của hàm số.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ (hoặc có thể cho dưới dạng hàm từng khúc)                 

Khi đó để xét sự liên tục của hàm số tại 1 điểm $x=a$ ta xét các giá trị sau:

$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right),\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ và $f\left( a \right)$

+) Nếu $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)\Rightarrow $Hàm số liên tục tại $x=a$

+) Nếu một trong 3 giá trị khác nhau thì hàm số gián đoạn tại $x=a$.

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM

1. Bảng đạo hàm cơ bản.

$f(x)$	$f'(x)$	${{a}^{x}}$	${{a}^{x}}\ln a$
C	0	$\ln x$	$1/x$
$x$	1	${{\log }_{a}}x$	$1/\left( x\ln a \right)$
${{x}^{n}}$	$n{{x}^{n-1}}$	$\sin x$	$\cos x$
$1/x$	$-1/{{x}^{2}}$	$\cos x$	$-\sin x$
$\sqrt{x}$	$1/\left( 2\sqrt{x} \right)$	$\tan x$	$\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x$
${{e}^{x}}$	${{e}^{x}}$	$\cot x$	$-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-(1+{{\cot }^{2}}x)$

 

 
 

2. Các quy tắc tính đạo hàm

$\left( au\pm bv \right)'=au'\pm bv'$	$\left( uv \right)'=u'v+uv'$
${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{'}}=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}$	$\left[ f\left( u\left( x \right) \right) \right]'=f'\left( u \right).u'\left( x \right)$

 

3.Ứng dụng của đạo hàm:

3.1. Tốc độ thay đổi của hàm số:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ khi đó ta có $y'=f'\left( x \right)$ biểu diễn tốc độ thay đổi của $f\left( x \right)$. Nếu $f'\left( c \right)<0\Rightarrow f\left( x \right)$ giảm tại $x=c$. Nếu $f'\left( c \right)>0\Rightarrow f\left( x \right)$ tăng tại $x=c$.

Một số ứng dụng hay gặp trong thực tế:

i.Giá trị cận biên: .$MV\left( x \right)=V'\left( x \right)$.

Trong đó $V$ có thể là Doanh thu $R,$ Chi phí $C$, Lợi nhuận $P$

Ý nghĩa: Giá trị cận biên $V'\left( {{x}_{0}} \right)$ có nghĩa là tại điểm $x={{x}_{0}}$ ta có khi $x$ tăng 1 đơn vị thì $V$ tăng một lượng tương ứng là $V'\left( {{x}_{0}} \right)$

ii.Tốc độ tức thời: $v\left( t \right)=s'\left( t \right)$,Gia tốc tức thời: $a\left( t \right)=v'\left( t \right)$ trong đó $s\left( t \right)$ là hàm quãng đường.

\[df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]

 

 

3.2. Biểu thức số gia:        

Hệ quả:

Tốc độ thay đổi tuyệt đối của hàm số:

Cho $f\left( x \right)$ và điểm ${{x}_{0}}$. Nếu ${{x}_{0}}$ tăng 1 lượng là $\Delta x$ thì khi đó ta có $f\left( {{x}_{0}} \right)$ tăng một lượng là: $\Delta f\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$.

Tốc độ thay đổi tương đối của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$: \[\frac{f'\left( {{x}_{0}} \right)}{f\left( {{x}_{0}} \right)}\]

Tốc độ thay đổi phần trăm của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$: \[\frac{f'\left( {{x}_{0}} \right)}{f\left( {{x}_{0}} \right)}.100\]

Note: Ta có thể thấy cận biên bản chất là 1 trường hợp đặc biệt của phép lấy số gia mà tại đó $\Delta x=1$.

3.3 Tiếp tuyến và độ dốc.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ và điểm $x={{x}_{0}}$ khi đó ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x={{x}_{0}}$ là:

$y={{y}_{0}}+f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$

Trong đó $f'\left( {{x}_{0}} \right)$ còn được gọi là hệ số góc hay độ dốc

4. Phép tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có đạo hàm của hàm số được tính bằng CT sau:

$f'\left( x \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}$

Ta cũng có các CT đạo hàm một phía:

${{f}_{+}}'\left( x \right)=\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}$

${{f}_{-}}'\left( x \right)=\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}$

Nếu ${{f}_{+}}'\left( x \right)={{f}_{-}}'\left( x \right)\Rightarrow \exists f'\left( x \right)={{f}_{+}}'\left( x \right)={{f}_{-}}'\left( x \right)$

5. Sự khả vi.

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ tồn tại đạo hàm $f'\left( {{x}_{0}} \right)$ thì ta gọi hàm số khả vi tại $x={{x}_{0}}$.

6. Đạo hàm của hàm ẩn.

Cho hàm số $f\left( x,y \right)=0$ trong đó $y=y\left( x \right)$ là hàm ẩn.

Vậy khi đó ta có đạo hàm \[y'\left( x \right)\] ta có hai cách:

Cách 1: Đạo hàm 2 vế theo $x$ rồi rút ra $y'\left( x \right)$

Cách 2: Sử dụng CT: 

Chú ý: Khi lấy $f'\left( x \right)$ thì ta coi $y$ là tham số và nguợc lại.$$

7. Đạo hàm cấp cao.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)\Rightarrow $đạo hàm cấp 1: $y'=f'\left( x \right)=\frac{df\left( x \right)}{dx}$

Đạo hàm cấp 2: $y''=f''\left( x \right)=\frac{d\left( f'\left( x \right) \right)}{dx}$

Đạo hàm cấp $n$ : ${{y}^{\left( n \right)}}={{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\frac{d\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]}{dx}$

Hiểu đơn giản: Đạo hàm cấp $n$ thì ta lấy đạo hàm cấp $n-1$ rồi đạo hàm một lần nữa.

CHƯƠNG 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1. Hàm tăng giảm, cực trị tương đối

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ giả sử tại điểm $x=c\in \left( a,b \right)$  ta có $f'\left( x \right)$  đổi dấu từ âm $\left( - \right)$ sang dương $\left( + \right)$  thì khi đó ta có $x=c$  là cực tiểu tương đối.

Ngược lại nếu $f'\left( x \right)$  đổi dấu từ dương $\left( + \right)$ sang âm $\left( - \right)$ thì khi đó ta có $x=c$ là cực đại tương đối.

2. Khoảng tăng giảm.

Nếu $f'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a,b \right)$ thì ta gọi $\left( a,b \right)$  là khoảng giảm.

Nếu $f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( a,b \right)$ thì ta gọi $\left( a,b \right)$  là khoảng tăng.

3. Tính lồi lõm của đồ thị hàm số.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$và điểm $x=c$

+)Nếu $f''\left( c \right)<0\Rightarrow $  hàm số đang lồi.

+)Nếu $f''\left( c \right)>0\Rightarrow $  hàm số đang lõm.

+)$x=c$ là điểm uốn nếu như tại đó hàm số có $f''\left( x \right)$ đổi dấu tại $x=c$

4. Hệ số chặn của hàm số.

Với mỗi hàm số $y=f\left( x \right)$ thì hệ số chặn $x$ là các điểm giao với trục hoành. Hệ số chặn $y$ là điểm mà đồ thị giao trục tung.

$\Rightarrow $ hệ số chặn $x$ là: $M\left( c,f\left( c \right)=0 \right)$, hệ số chặn $y$ là:$M\left( 0,f\left( 0 \right) \right)$ 

Một hàm số có thể có nhiều hệ số chặn $x$nhưng chỉ có 1 hệ số chặn $y$  duy nhất.

5. Tiệm cận của đồ thị.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu:

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\Rightarrow y=a$  là tiệm cận ngang của đồ thị.

$\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \Rightarrow x=c$  là tiệm cận đứng.

6. Cực trị tuyệt đối.

       

Các bước tìm cực trị tuyệt đối.

Bước 1: Xét phương trình $y'=0$ ta được các điểm ${{x}_{i}}$ là điểm tới hạn.

Bước 2: Xét các điểm ${{x}_{i}}\in \left( a,b \right)$ và hai đầu mút $a,b$  ta được các giá trị \[f\left( {{x}_{i}} \right)\]

 

7. Độ co giãn của cầu.

Cho hàm cầu $q=D\left( p \right)$ khi đó ta có độ co giãn của cầu theo giá là:

$E\left( p \right)=-\frac{p}{q}.\frac{dq}{dp}=-\frac{p}{q}.D'\left( p \right)$

-Ý nghĩa: Độ co giãn của cầu thể hiện tốc độ phần trăm giảm của lượng cầu khi tăng giá bán lên 1%

-Các mức độ co giãn và tác động đến doanh thu.

Nếu $E\left( p \right)>1\Rightarrow $ cầu co giãn$\Rightarrow $  doanh thu giảm khi $p$ tăng

Nếu $E\left( p \right)<1\Rightarrow $  cầu không co giãn$\Rightarrow $ doanh thu tăng khi $p$  tăng

Nếu $E\left( p \right)=1\Rightarrow $cầu co giãn đơn vị$\Rightarrow $  doanh thu không đổi khi $p$  tăng nhỏ.

CHƯƠNG 4: NGUYÊN HÀM+TÍCH PHÂN

I. Nguyên hàm

1. Định nghĩa.

Cho hàm số $F\left( x \right)$  thoả mãn $F'\left( x \right)=f\left( x \right)$ . Khi đó ta gọi $F\left( x \right)$  là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ .

Dễ thấy nếu $F\left( x \right)$  là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$  thì khi đó ta có $F\left( x \right)+C,\text{  }C\in R$ cũng là một $\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C$nguyên hàm của $f\left( x \right)$ . Khi đó ta có họ nguyên hàm:

Bảng các nguyên hàm cơ bản:

$f(x)$	$F(x)=\int{f(x)dx}+C$
$C\in R$	$Cx$
${{x}^{n}}$	$\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
${{e}^{x}}$	${{e}^{x}}$
$\frac{1}{x+a}$	$\ln \left| x+a \right|$

 

2. Phương pháp đổi biến để tính nguyên hàm.

Note: Mấu chốt là ta cần chọn hàm $u\left( x \right)$  hợp lý.

Các trường hợp hay gặp:

$f\left( \sqrt{\alpha \left( x \right)} \right)\Rightarrow u=\sqrt{\alpha \left( x \right)}$ hoặc $u=\alpha \left( x \right)$

 3. Tích phân xác định

Cho hàm số $f\left( x \right)$  liên tục trên đoạn $a\le x\le b$và tồn tại nguyên hàm $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}$ là một nguyên hàm bất kỳ trên đoạn $\left[ a,b \right]$. Khi đó ta có tích phân xác định:

Các tính chất:

+) Nếu $f\left( x \right)$ là hàm chẵn với $\forall x\in \left[ -a,a \right]\Rightarrow \int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$

+) Nếu $f\left( x \right)$ là hàm lẻ với $\forall x\in \left[ -a,a \right]\Rightarrow \int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$

4.Các ứng dụng của tích phân:

4.1. Tìm hàm số từ độ dốc tiếp tuyến cho trước:

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có độ dốc của tiếp tuyến là $f'\left( x \right)$  thì khi đó ta có hàm số cần tìm có dạng $f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx}+C$

4.2 Tìm tổng chi phí chi biết chi phí cận biên.

$C\left( q \right)=\int{C'\left( q \right)dq}+K$

Nếu chi phí cận biên của một mô hình sản xuất là $MC=\frac{dC}{dq}=C'\left( q \right)$

Khi đó hàm tổng chi phí

  (ở đây ta chọn hằng số tự do là $K$  để tránh nhầm lẫn với hàm chi phí $C$ .

Tương tự đối với các hàm khác như Doanh thu $\left( R \right)$ hay lợi nhuận $\left( P \right)$ hoàn toàn tương tự.

$R\left( q \right)=\int{R'\left( q \right)dq}+KP\left( q \right)=\int{P'\left( q \right)dq}+K$

 

 

4.3 Vận tốc,quãng đường,gia tốc:

Giả sử cho $a\left( t \right),v\left( t \right),s\left( t \right)$lần lượt là gia tốc,vận tốc và quãng đường chuyển động của một vật. Khi đó ta có mối liên hệ sau:

$v\left( t \right)=\int{a'\left( t \right)dt}+{{C}_{1}},s\left( t \right)=\int{v'\left( t \right)dt}+{{C}_{2}}$

Một số CT khác(vật lý): ${{v}^{2}}\left( t \right)-{{v}^{2}}\left( 0 \right)=2as$ , \[s=v\left( 0 \right)t+\frac{1}{2}a{{t}^{2}}\]

4.4. Giải phương trình vi phân-PT phân ly biến số.

PT phân ly biến số là phương trình có dạng:

$\frac{dy}{dx}=\frac{f\left( x \right)}{g\left( y \right)}\Rightarrow f\left( x \right)dx=g\left( y \right)dy\Rightarrow \int{f\left( x \right)dx=\int{g\left( y \right)dy}+C}$

4.5. CT lãi gộp liên tục.

Giá trị tại thời điểm $t$ của một khoản đầu tư $P$ với lãi suất hàng năm $r$ được tính gộp liên tục là:  $B\left( t \right)=P{{e}^{rt}}$

4.6. Mô hình điều chỉnh giá.

$\frac{dp}{dt}=k\left( D-S \right)$  trong đó \[D,S\]  là lượng cung cầu tại thời thời điểm $t$ .$k$ là hằng số dương.

4.7. Tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể xoay tròn.

4.8. Thay đổi ròng:

Thay đổi ròng của $Q\left( x \right)$ khi $x$  thay đổi từ $a\to b$ được tính theo tích phân xác định: $Q\left( b \right)-Q\left( a \right)=\int\limits_{a}^{b}{Q'\left( x \right)dx}$

4.9. Đường cong Lorenz và chỉ số Gini

Đường cong Lorenz để đo lường tỷ lệ phần trăm của cải của xã hội được tạo ra bởi tỷ lệ phần trăm người sở hữu số của cải đó.

Ký hiệu: $y=L\left( x \right)$ .

4.10. Giá trị trung bình của hàm số.

$V=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$

5. Một số ứng dụng khác.

5.1 Giá trị tương lai,hiện tại của một dòng thu nhập.

Giá trị tương lai $FV=\int\limits_{0}^{T}{f\left( t \right){{e}^{r\left( T-t \right)}}dt}={{e}^{rT}}\int\limits_{0}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-rt}}dt}$

Giá trị hiện tại.$PV=\int\limits_{0}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-rt}}dt}$

CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN (TIẾP)

I.Tích phân từng phần

1. Nguyên hàm từng phần: 

2. Tích phân từng phần:

3.Bảng tích phân

$f\left( x \right)$	$\int{f\left( x \right)dx}+C$
$\frac{1}{\left( x+a \right)\left( x+b \right)}$	$\frac{1}{a-b}\ln \left| \frac{x+a}{x+b} \right|+C$
$\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$	$\frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|+C$
$\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}$	$\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|$
$x{{e}^{ax}}$	$\frac{1}{{{a}^{2}}}\left( ax-1 \right){{e}^{ax}}+C$ .
$\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$	$-\frac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C$
$\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$	$-\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C$
$\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{3/2}}}$	$\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$

II. Tính gần đúng tích phân xác định.

1.Công thức hình thang: $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+2f\left( {{x}_{2}} \right)+2f\left( {{x}_{3}} \right)+...+2f\left( {{x}_{n}} \right)+f\left( {{x}_{n+1}} \right) \right]$

Sai số : $\left| {{E}_{n}} \right|\le \frac{K{{\left( b-a \right)}^{3}}}{12{{n}^{2}}}$  trong đó $K=\max \left| f''\left( x \right) \right|$  trên $\left[ a,b \right]$

2. Công thức Simpson: $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\approx \frac{\Delta x}{3}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+4f\left( {{x}_{2}} \right)+2f\left( {{x}_{3}} \right)+4f\left( {{x}_{4}} \right)...+2f\left( {{x}_{n-1}} \right)+4f\left( {{x}_{n}} \right)+f\left( {{x}_{n+1}} \right) \right]$

Sai số: $\left| {{E}_{n}} \right|\le \frac{M{{\left( b-a \right)}^{5}}}{180{{n}^{4}}}$  trong đó $M=\max \left| f''\left( x \right) \right|$  trên $\left[ a,b \right]$

III. Tích phân suy rộng

Cho tích phân $\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}$ được gọi là tích phân suy rộng.

Ta xét giới hạn:

$\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{N}{f\left( x \right)dx}$

 

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì TPSR đã cho Hội tụ. Và ngược lại TPSR đã cho phân kỳ.

Giới hạn cơ bản hay gặp khi tính giới hạn của TPSR:

$\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{N}^{p}}{{e}^{-kN}}=0,k>0$

CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN

1. Định nghĩa

Một hàm số $f$  của hai biến độc lập $x,y$ là một quy tắc mà với mỗi cặp $\left( x,y \right)$ duy nhất chỉ tồn tại một số thực $f\in R$ duy nhất.

Các mô hình trong kinh tế sử dụng hàm hai biến thường gặp

+)Một doanh nghiệp sản xuất hai mặt hàng với sản lượng là ${{Q}_{1}},{{Q}_{2}}$khi đó ta có các hàm:  $C=C\left( {{Q}_{1}},{{Q}_{2}} \right),R=R\left( {{Q}_{1}},{{Q}_{2}} \right),P=P\left( {{Q}_{1}},{{Q}_{2}} \right)$

 +) Hàm lợi ích: $U=U\left( x,y \right)$

+) Hàm sản xuất: $Q=Q\left( K,L \right)$  trong đó $K$ là lượng vốn,$L$  là lao động.….

2. Đường mức.

Cho hàm số $f\left( x,y \right)$ để vẽ được đồ thị thì khá khó nhưng ta có thể mô phỏng một mặt cắt tại điểm $f\left( x,y \right)=C$ . Vậy đường $f\left( x,y \right)=C$ được gọi là đường mức.

3. Đạo hàm riêng của hàm hai biến và ứng dụng

3.1. Đạo hàm riêng

Cho hàm hai biến

$z=f\left( x,y \right)$  ta có các đạo hàm riêng:

$\frac{\partial z}{\partial x}={{f}_{x}}\left( x,y \right),\frac{\partial z}{\partial y}={{f}_{y}}\left( x,y \right)$

Đạo hàm theo $x$  thì ta coi $y$ là tham số và ngược lại.

3.2 Phân tích cận biên.

Cho hàm số $z=f\left( x,y \right)$ tại điểm $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$,khi mà $x$ (hoặc $y$ ) tăng 1 đơn vị  còn $y$ (hoặc $x$ ) không đổi thì giá trị của $z$ tăng một lượng tương ứng là${{f}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$(hoặc ${{f}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$).

Ta có thể áp dụng trong kinh tế.

*Hàng hoá thay thế-Hàng hoá bổ sung.

Cho các hàm cầu ${{D}_{1}}\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right),{{D}_{2}}\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}} \right)$

Đối với hàng hoá thay thế: \[\frac{\partial {{D}_{1}}}{\partial {{p}_{2}}}>0\]và _{$\frac{\partial {{D}_{2}}}{\partial {{p}_{1}}}>0$}   

Đối với hàng hoá bổ sung: \[\frac{\partial {{D}_{1}}}{\partial {{p}_{2}}}<0\]và _{$\frac{\partial {{D}_{2}}}{\partial {{p}_{1}}}<0$}              

3.3. Các đạo hàm riêng cấp 2

\[{{f}_{xx}}={{\left( {{f}_{x}} \right)}_{x}},{{f}_{xy}}={{\left( {{f}_{x}} \right)}_{y}}={{\left( {{f}_{y}} \right)}_{x}}={{f}_{yx}},{{f}_{yy}}={{\left( {{f}_{y}} \right)}_{y}}\]

3.4 Đạo hàm hàm hợp:

\[z=z\left( x\left( t \right),y\left( t \right) \right)\Rightarrow \frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}.\frac{dx}{dt}+\frac{dz}{dy}.\frac{dy}{dt}={{z}_{x}}{{x}_{t}}+{{z}_{y}}{{y}_{t}}\]

3.5 Công thức số gia:

$\Delta z\approx \frac{dz}{dx}\Delta x+\frac{dz}{dy}\Delta y$

4. Tối ưu hoá hàm hai biến

4.1 Cực trị của hàm hai biến.

Cho hàm hai biến $z=f\left( x,y \right)$ .

Bước 1: Tìm điểm tới hạn. Giải Hệ PT:

Bước 2: Với mỗi điểm $\left( a,b \right)$ tìm được ta tính các BT:

$A={{f}_{xx}}\left( a,b \right),B={{f}_{xy}}\left( a,b \right),C={{f}_{yy}}\left( a,b \right),D=AC-{{B}^{2}}$

Bước 3: Biện luận

$A>0\Rightarrow \left( a,b \right)$ là cực tiểu

$A<0\Rightarrow \left( a,b \right)$ là cực đại

+)Nếu $D<0\Rightarrow \left( a,b \right)$ không là cực trị(điểm yên ngựa).

+)Nếu  $D>0\Rightarrow $

 +)Nếu $D=0$ thì ta chưa kết luận được.

5. Cực trị có điều kiện.

5.1. Tìm cực trị có điều kiện bằng phương pháp nhân tử Lagrange

Cho hàm số $f\left( x,y \right)$,tìm cực trị với ràng buộc $g\left( x,y \right)=k$

Bước 3: Từ các điểm dừng ra rút ra cực đại và cực tiểu. Qua đó tìm mức tối ưu phù hợp yêu cầu đề bài.

5.2. Ý nghĩa nhân tử Lagrange $\lambda $ .

Giả sử $M$  là giá trị cực đại(hoặc cực tiểu) của hàm $f\left( x,y \right)$ với điều kiện $g\left( x,y \right)=k$ . Khi đó ta có \[\lambda =\frac{dM}{dk}\]  tức là khi $k$  tăng thêm 1 đơn vị thì $M$  tăng thêm một lượng là $\lambda $