ĐỀ THI HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG

Câu 1 (3 điểm):
a. Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=12  \\
   -3{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-2{{x}_{4}}=-3  \\
   6{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}-2{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=11  \\
   -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=-1  \\
\end{array} \right.$
b. Tìm cực trị của hàm số $z=2x+2y+xy$ với điều kiện: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy=6$.
Câu 2 (3 điểm):
Cho $X$ là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

$X$	-2	-1	0	1	2
$P$	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

a. Lập hàm phân phối xác suất của $X$.
b. Tìm $P(|X-E(X)|<1)$
Câu 3 (4 điểm):
Giả sử thời gian hoàn thành một loại chi tiết máy (đơn vị: phút) là một đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Kiềm tra ngẫu nhiên 36 chi tiết thấy thời gian hoàn thành các chi tiết cho ở bàng sau:

Thời gian hoàn thành	14	15	16	17	18
Số chi tiết	2	10	12	8	4

a. Với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$ hãy kiểm định giả thuyết cho rằng thời gian trung bình hoàn thành một chi tiết máy ít hơn 17 phút.
b. Kiểm tra tiếp 64 chi tiết thấy có 18 chi tiết nữa có thời gian hoàn thành ít hơn 16 phút. Kết hợp với dữ liệu ở bảng trên, với độ tin cậy $95%$, hãy ước lượng tỉ lệ tối thiểu các chi tiết máy có thời gian hoàn thành ít hơn 16 phút.
Biết rằng :
$\begin{align}
  & \Phi \left( 1 \right)=0,34134;\Phi \left( 1,5 \right)=0,43319;\Phi \left( 2 \right)=0,47725;\Phi \left( 2,5 \right)=0,49379 \\
 & {{u}_{0,005}}=2,58;{{u}_{0,01}}=2,33;{{u}_{0,025}}=1,96;{{u}_{0,05}}=1,65 \\
 & t_{0,025}^{\left( 15 \right)}=2,131;t_{0,05}^{\left( 15 \right)}=1,753;t_{0,025}^{\left( 24 \right)}=2,064;t_{0,05}^{\left( 24 \right)}=1,711 \\
\end{align}$

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1a
$\left\{ \begin{align}
  & 2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=12 \\
 & -3{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-2{{x}_{4}}=-3 \\
 & 6{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}-2{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=11 \\
 & -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=-1 \\
\end{align} \right.$
Ta có ma trận hệ số mở rộng
${\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 3 & -1 & 4 & 12 \\
-3 & 1 & 2 & -2 & -3 \\
6 & 2 & -2 & 1 & 11 \\
-1 & -1 & 3 & 2 & -1
\end{array}\right) \xrightarrow{D_1 \leftrightarrow D_4}\left(\begin{array}{cccc|c}
-1 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
-3 & 1 & 2 & -2 & -3 \\
6 & 2 & -2 & 1 & 11 \\
2 & 3 & -1 & 4 & 12
\end{array}\right)}$
${\xrightarrow[D_4+2 D_1 \rightarrow D_4]{\substack{D_2-3 D_1 \rightarrow D_2 \\
D_3+6 D_1 \rightarrow D_3}}\left(\begin{array}{cccc|c}
-1 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 4 & -7 & -8 & 0 \\
0 & -4 & 16 & 13 & 5 \\
0 & 1 & 5 & 8 & 10
\end{array}\right) \xrightarrow{D_2 \leftrightarrow D_4}\left(\begin{array}{cccc|c}
-1 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 5 & 8 & 10 \\
0 & -4 & 16 & 13 & 5 \\
0 & 4 & -7 & -8 & 0
\end{array}\right)}$
${\xrightarrow[D_4-4 D_2 \rightarrow D_4]{D_3+4 D_2 \rightarrow D_3}\left(\begin{array}{cccc|c}
-1 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 5 & 8 & 10 \\
0 & 0 & 36 & 45 & 45 \\
0 & 0 & -27 & -40 & -40
\end{array}\right) \xrightarrow{4 D_4+3 D_3 \rightarrow D_4}\left(\begin{array}{cccc|c}
-1 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 5 & 8 & 10 \\
0 & 0 & 36 & 45 & 45 \\
0 & 0 & 0 & -25 & -25
\end{array}\right)}$
Vậy hệ đã cho tương đương
$\left\{ \begin{align}
  & -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=-1 \\
 & {{x}_{2}}+5{{x}_{3}}+8{{x}_{4}}=10 \\
 & 36{{x}_{3}}+45{{x}_{4}}=45 \\
 & -25{{x}_{4}}=-25 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
  & {{x}_{1}}=1 \\
 & {{x}_{2}}=2 \\
 & {{x}_{3}}=0 \\
 & {{x}_{4}}=1 \\
\end{align} \right.$
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất là $\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right)=\left( 1,2,0,1 \right)$

Câu 1b
$z=2x+2y+xy$    
Hàm điều kiện $g\left( x,y \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy=6$
Ta lập hàm Lagrange:
$L\left( x,y,\lambda  \right)=2x+2y+xy+\lambda \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-6 \right)$
Tìm điểm dừng.Xét hệ PT:
$\left\{ \begin{align}
  & L_{x}^{'}=0 \\
 & L_{y}^{'}=0 \\
 & L_{\lambda }^{'}=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{align}
  & 2+y+2\lambda x+4\lambda y=0\left( 1 \right) \\
 & 2+x+2\lambda y+4\lambda x=0\left( 2 \right) \\
 & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-6=0\left( 3 \right) \\
\end{align} \right.$
Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được
$\left( y-x \right)+2\lambda \left( y-x \right)=0\Leftrightarrow \left( y-x \right)\left( 1+2\lambda  \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
  & y=x \\
 & \lambda =-\frac{1}{2} \\
\end{align} \right.$
Với $y=x$thay vào (3) ta được :
${{x}^{2}}+{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-6=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1$
Thay lại vào phương trình (1) ta được 2 điểm dừng
${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{\lambda }_{1}} \right)=\left( 1,1,-\frac{1}{2} \right),{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{\lambda }_{2}} \right)=\left( -1,-1,\frac{1}{6} \right)$
Thay $\lambda =-\frac{1}{2}\Rightarrow {{M}_{1}}\left( 1,1,-\frac{1}{2} \right)$
Vậy có 2 điểm dừng ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$
Xét các biểu thức
$\begin{align}
  & L_{xx}^{''}=2\lambda L_{xy}^{''}=1+4\lambda L_{yy}^{''}=2\lambda  \\
 & g_{x}^{'}=2x+4yg_{y}^{'}=2y+4x \\
\end{align}$
Ta có ma trận Hess: $H=\left( \begin{matrix}
   0 & g_{x}^{'} & g_{y}^{'}  \\
   g_{x}^{'} & L_{xx}^{''} & L_{xy}^{''}  \\
   g_{y}^{'} & L_{xy}^{''} & L_{yy}^{''}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   0 & 2x+4y & 2y+4x  \\
   2x+4y & 2\lambda  & 1+4\lambda   \\
   2y+4x & 1+4\lambda  & 2\lambda   \\
\end{matrix} \right)$
Tại ${{{M}_{1}}\left( 1,1,-\frac{1}{2} \right)\Rightarrow H=\left( \begin{matrix}
   0 & 6 & 6  \\
   6 & -1 & -1  \\
   6 & -1 & -1  \\
\end{matrix} \right)\Rightarrow \left| H \right|=0\Rightarrow {{M}_{1}}\left( 1,1 \right)}$không là cực trị
Tại ${{{M}_{2}}\left( -1,-1,\frac{1}{6} \right)\Rightarrow H=\left( \begin{matrix}
   0 & -6 & -6  \\
   -6 & 1/3 & 5/3  \\
   -6 & 5/3 & 1/3  \\
\end{matrix} \right)\Rightarrow \left| H \right|=96>0\Rightarrow {{M}_{2}}\left( -1,-1 \right)}$ là điểm cực đại
Vậy hàm số đã cho đạt cực đại có điều kiện tại ${{M}_{2}}\left( -1,-1 \right)$.Giá trị cực đại là ${{z}_{cd}}=-3$

Câu 2a
Ta có hàm phân phối xác suất:
\[F\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
  & 0khix\le -2 \\
 & 0,3khi-2<x\le -1 \\
 & 0,4khi-1<x\le 0 \\
 & 0,7khi0<x\le 1 \\
 & 0,9khi1<x\le 2 \\
 & 1khix>2 \\
\end{align} \right.\]
Câu 2b
Ta có kỳ vọng toán:
$E\left( X \right)=\sum{{{x}_{i}}{{p}_{i}}=}-2.0,3-1.0,1+0.0,3+1.0,2+2.0,1=-0,3$
Ta có: $\left| X-E\left( X \right) \right|<1\Leftrightarrow \left| X+0,3 \right|<1\Leftrightarrow \frac{-13}{10}<X<\frac{7}{10}$
Vậy $P\left( \left| X-E\left( X \right) \right|<1 \right)=P\left( \frac{-13}{10}<X<\frac{7}{10} \right)=P\left( X=-1 \right)+P\left( X=0 \right)=0,1+0,3=0,4$

Câu 3a
Gọi $X$(phút) là thời gian hoàn thành một chi tiết máy
Gọi $\overline{X}$là thời gian trung bình hoàn thành một chi tiết máy trên mẫu
Gọi $\mu $là thời gian trung bình hoàn thành một chi tiết máy trên đám đông
Vì $X$là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nên ta có $\overline{X}\sim N\left( \mu ,\frac{{{\sigma }^{2}}}{n} \right)$
Ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định : $U=\frac{\overline{X}-{{\mu }_{0}}}{\sigma /\sqrt{n}}$
Với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$ta cần kiểm định $\left\{ \begin{align}
  & {{H}_{0}}:\mu ={{\mu }_{0}}\left( =17 \right) \\
 & {{H}_{1}}:\mu <{{\mu }_{0}} \\
\end{align} \right.$
Nếu ${{H}_{0}}$đúng thì $U\sim N\left( 0,1 \right)$
Ta có các đặc trưng mẫu:
$\begin{align}
  & +)\overline{x}=\frac{1}{n}\sum{{{x}_{i}}{{n}_{i}}}=\frac{1}{3}\left( 14.2+15.10+16.12+17.8+18.4 \right)=\frac{578}{36} \\
 & +)\sum{x_{i}^{2}{{n}_{i}}=}{{14}^{2}}.2+{{15}^{2}}.10+{{16}^{2}}.12+{{17}^{2}}.8+{{18}^{2}}.4=9322 \\
 & +)s{{'}^{2}}=\frac{1}{n-1}\left[ \sum{x_{i}^{2}{{n}_{i}}}-n{{\left( \overline{x} \right)}^{2}} \right]=\frac{1}{36-1}\left( 9322-36.{{\left( \frac{578}{36} \right)}^{2}} \right)=1,1968 \\
 & \Rightarrow \sigma \sim s'=1,0940 \\
\end{align}$
Ta xác định hàm phân vị ${{u}_{\alpha }}$ sao cho $P\left( U<-{{u}_{\alpha }} \right)=\alpha $
Miền bác bỏ của ${{H}_{0}}$là ${{W}_{\alpha }}=\left\{ {{u}_{tn}}:{{u}_{tn}}<-{{u}_{\alpha }} \right\}$
Trong đó ${{u}_{tn}}=\frac{\overline{x}-{{\mu }_{0}}}{s'/\sqrt{n}}=\frac{\frac{578}{36}-17}{\frac{1,0940}{\sqrt{36}}}=-5,1798$
Ta có $\alpha =0,05\Rightarrow {{u}_{\alpha }}={{u}_{0,05}}=1,65\Rightarrow {{u}_{tn}}=-5,1798<-{{u}_{0,05}}\Rightarrow {{u}_{tn}}\in {{W}_{\alpha }}$
Vậy bác bỏ ${{H}_{0}}$chấp nhận ${{H}_{1}}$
Vậy với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$ta có thể nói thời gian trung bình hoàn thành 1 chi tiết máy là nhỏ hơn 17 phút
Câu 3b
$f$là tỉ lệ các chi tiết máy có thời gian hoàn thành ít hơn 16 phút trên mẫu.
$p$ là tỉ lệ các chi tiết máy có thời gian hoàn thành ít hơn 16 phút trên đám đông.
Khi đó ta có thống kê $U=\frac{f-p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}}\sim N\left( 0,1 \right)$
Ta xác định hàm phân vị ${{u}_{\alpha }}$sao cho
$P\left( U<{{u}_{\alpha }} \right)=1-\alpha =\gamma \Leftrightarrow P\left( p>f-\sqrt{\frac{pq}{n}}{{u}_{\alpha }} \right)=1-\alpha =\gamma =0,95$
Ta có : $f=\frac{2+10+18}{36+64}=0,3$
Với $n=100$khá lớn nên ta lấy $p\approx f=0,3\Rightarrow q=1-p=0,7$
Với độ tin cậy $\gamma =0,95\Rightarrow \alpha =0,05\Rightarrow {{u}_{\alpha }}={{u}_{0,05}}=1,65$
Vậy giá trị tối thiểu của là: $p>f-\sqrt{\frac{pq}{n}}{{u}_{\alpha }}=0,3-\sqrt{\frac{0,3.0,7}{100}}.1,65=0,224$
Vậy tỉ lệ tối tiểu các chi tiết máy có thời gian hoàn thành ít hơn 16 phút là 0,224
  Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn! Nhận ngay nhiều tài liệu Toán đại cương được cập nhật mới nhất tại Góc ôn thi TMU - tài liệu và đề thi 
Tham gia nhóm Zalo "Ôn thi Toán đại cương" https://zalo.me/g/ceykxf371 Group Zalo là nơi chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ôn thi và các đề thi thử; giải đáp thắc mắc, trao đổi kiến thức và bí quyết ôn thi; đồng thời cổ vũ, động viên và hỗ trợ lẫn nhau trong quá trình ôn tập.