Các dạng bài tập môn Giải tích III phần Chuỗi và đáp án tham khảo thi tiết

Các dạng bài tập môn Giải tích III luôn khiến sinh viên gặp khó khăn trong quá trình làm đề vì chưa biết phân dạng và sử dụng công thức chính xác cho từng dạng bài tập cụ thể. Hôm nay Ôn thi sinh viên sẽ cung cấp cho bạn tất cả các dạng bài phần Chuỗi và đáp án tham khảo chi tiết của môn học Giải tích III.

I. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Xét sự Hội tụ các chuỗi sau:
a) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{2 n+3}\right)^3$
b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n+1}}{4^n}$
c) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n-1}{3 n+2}\right)^n$
d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n !)^2}{2^n(n+1)}$
e) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2.5 .8 \ldots(3 n-1)}{1.5 .9 \ldots(4 n-3)}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n !)^2}{(2 n) !}$
g) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n}$
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^2+1}{(\sqrt{3})^n}$
i) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{e^n}$
j) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n^2-n}$
k) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{n}\right)^3$
1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n^2}$
m) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(\frac{n}{4 n-3}\right)^{2 n}$
п) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n}$
o) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{(n-1)(n+2)}}$
p) $\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1+n}{n^2-1}\right)^2$
q) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln \sqrt{n}}{\sqrt{n}}$
r) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(\frac{1+n}{n-1}\right)$
s) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \quad$ 
t) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \frac{1}{n}}{n^2}$
u) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$
v) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \ln (\ln n)}$
w*) $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{n}^{2}}}\left[ {{\left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}^{2}}-1 \right]$
x*) $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{(\ln (\ln n))}^{\ln n}}}}$
y*) $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{e}^{n}}n!}{{{n}^{n}}}}$
 

II. ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Xét sự Hội tụ các chuỗi sau:
a)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)}^{3}}}$    (1)    
Ta có ${{a}_{n}}={{\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)}^{3}}\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8}\ne 0$
Vậy chuỗi đã cho Phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi Hội tụ.    

b)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{3}^{n+1}}}{{{4}^{n}}}}=3\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{3}^{n}}}{{{4}^{n}}}=3\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{n}}}}$
Ta có $\left| q \right|=\left| \frac{3}{4} \right|=\frac{3}{4}<1$
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.            

c)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{3n-1}{3n+2} \right)}^{n}}}$
Ta có ${{a}_{n}}={{\left( \frac{3n-1}{3n+2} \right)}^{n}}\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3n-1}{3n+2} \right)}^{n}}$
$=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{3}{3n+2} \right)}^{\frac{3n+2}{3}.\frac{3n}{3n+2}}}={{e}^{-\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3n}{3n+2}}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\ne 0$
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi Hội tụ.

d)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{(n!)}^{2}}}{{{2}^{n}}(n+1)}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{{{(n!)}^{2}}}{{{e}^{n}}(n+1)}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $ (1) là chuỗi dương.
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{((n+1)!)}^{2}}}{{{e}^{n+1}}(n+2)} \right):\left( \frac{{{(n!)}^{2}}}{{{e}^{n}}(n+1)} \right)$
$=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{((n+1)!)}^{2}}{{e}^{n}}(n+1)}{{{(n!)}^{2}}{{e}^{n+1}}(n+2)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(n+1)}^{2}}}{e}=+\infty >1$
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert.

e)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2.5.8...(3n-1)}{1.5.9...(4n-3)}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{2.5.8...(3n-1)}{1.5.9...(4n-3)}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2.5.8...(3n-1)(3n+2)}{1.5.9...(4n-3)(4n+1)}:\frac{2.5.8...(3n-1)}{1.5.9...(4n-3)}$
$=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2.5.8...(3n-1)(3n+2).1.5.9...(4n-3)}{1.5.9...(4n-3)(4n+1).2.5.8...(3n-1)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{3}{4}<1$
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert.

f)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{(n!)}^{2}}}{(2n)!}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{{{(n!)}^{2}}}{(2n)!}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{((n+1)!)}^{2}}}{(2n+2)!}:\frac{{{(n!)}^{2}}}{(2n)!}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{((n+1)!)}^{2}}(2n)!}{(2n+2)!{{(n!)}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(n+1)}^{2}}}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{2}<1$
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert.

g)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n!}{{{n}^{n}}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{n!}{{{n}^{n}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(n+1)!}{{{(n+1)}^{n+1}}}:\frac{n!}{{{n}^{n}}}$ 
$=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(n+1)!.{{n}^{n}}}{(n+1).{{(n+1)}^{n}}.n!}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n}{n+1} \right)}^{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)}^{n}}=\frac{1}{e}<1$
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert.        

h)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{3{{n}^{2}}+1}{{{(\sqrt{3})}^{n}}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}+1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{n}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $D=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{(n+1)}^{2}}+1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{n+1}}}:\frac{3{{n}^{2}}+1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 3{{(n+1)}^{2}}+1 \right){{\left( \sqrt{3} \right)}^{n}}}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{n+1}}\left( 3{{n}^{2}}+1 \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{3}}<1$    
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert.        

i)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{n}^{3}}}{{{e}^{n}}}}$    (1)
Ta có 
${{a}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}}{{{e}^{n}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(n+1)}^{3}}}{{{e}^{n+1}}}:\frac{{{n}^{3}}}{{{e}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(n+1)}^{3}}{{e}^{n}}}{{{e}^{n+1}}{{n}^{3}}}=\frac{1}{e}<1$
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert.

j)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}-n}}}=0+\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}-n}}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}-n}}}$        (1)
Ta có ${{a}_{n}}={{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}-n}}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}-n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{2}{n+1} \right)}^{n-1}}=\frac{1}{{{e}^{2}}}<1$
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.    

k)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( \cos \frac{1}{n} \right)}^{3}}}$    (1)
Ta có $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \cos \frac{1}{n} \right)}^{3}}={{\left( \cos 0 \right)}^{3}}=1\ne 0$
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi Hội tụ.    
l)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{7}^{n}}}{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}}=0+\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{7}^{n}}}{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{7}^{n}}}{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{{{7}^{n}}}{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\frac{1}{{{7}^{n}}}{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{7}{{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{7}{{\left( 1-\frac{2}{n+1} \right)}^{n}}=\frac{1}{{{e}^{2}}}<1$
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.    

m)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\sqrt{n}{{\left( \frac{n}{4n-3} \right)}^{2n}}}$(1)
Ta có ${{a}_{n}}=\sqrt{n}{{\left( \frac{n}{4n-3} \right)}^{2n}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương
Xét $C=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\sqrt{n}{{\left( \frac{n}{4n-3} \right)}^{2n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n}{4n-3} \right)}^{2}}.{{n}^{1/2n}}$
Có      +)$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n}{4n-3} \right)}^{2}}=\frac{1}{16}$ 
+)$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{1/2n}}={{e}^{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln n}{2n}}}={{e}^{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2n}}}={{e}^{0}}=1$
Vậy $C=\frac{1}{16}<1$
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn cauchy.

n)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n+2-n}{n\left( \sqrt{n+2}+\sqrt{n} \right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2}{n\left( \sqrt{n+2}+\sqrt{n} \right)}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{2}{n\left( \sqrt{n+2}+\sqrt{n} \right)}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Khi $n\to \infty $ta có:
${{a}_{n}}=\frac{2}{n\left( \sqrt{n+2}+\sqrt{n} \right)}\sim\frac{2}{n.2\sqrt{n}}=\frac{1}{{{n}^{3/2}}}$
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{3/2}}}}$ Hội tụ $$(Do $\alpha =3/2>1$)
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo Tiêu chuẩn so sánh.        

o)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{(n-1)(n+2)}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{(n-1)(n+2)}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương
Khi $n\to \infty $ ta có ${{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{(n-1)(n+2)}}\sim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n.n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$
Mà $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{n}}}$ Phân  kỳ do $\alpha =1/2<1$
Vậy chuỗi đã cho cũng phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
    
p)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{\left( \frac{1+n}{{{n}^{2}}-1} \right)}^{2}}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{(n-1)}^{2}}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{{{(n-1)}^{2}}}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.    
Khi $n\to \infty $ Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{{{(n-1)}^{2}}}\sim\frac{1}{{{n}^{2}}}$
Mà $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}}$ Hội tụ.(Do $\alpha =2>1$)
Vậy chuỗi đã cho cũng Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

q)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\ln \sqrt{n}}{\sqrt{n}}}$    (1)    
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{\ln \sqrt{n}}{\sqrt{n}}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Khi $n\to \infty $ta có 
${{a}_{n}}=\frac{\ln \sqrt{n}}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n}}$
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{1/2}}}}}$ Phân kỳ do $\alpha =1/2<1$
Vậy chuỗi đã cho cũng Phân kỳ theo so sánh 1
            
r)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{n}}\ln \left( \frac{1+n}{n-1} \right)}$        (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln \left( \frac{1+n}{n-1} \right)>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét ${{b}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{3/2}}}$
Ta có $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{n}}\ln \left( \frac{1+n}{n-1} \right):\frac{1}{{{n}^{3/2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{n}}\ln \left( 1+\frac{2}{n-1} \right).{{n}^{3/2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( n.\frac{1}{n-1} \right)=1$
Vậy $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$có cùng tính chất.
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{3/2}}}}}$ Hội tụ.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.

s)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{n}}\left( 1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\left( 1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}} \right)=\frac{1}{\sqrt{n}}\left( 1-1+2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2\sqrt{n}} \right)=\frac{2}{\sqrt{n}}{{\sin }^{2}}\frac{1}{2\sqrt{n}}>0,\forall n\ge 1$
Vậy (1) là chuỗi dương.
Xét ${{b}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{3/2}}}$. Ta có
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{\sqrt{n}}{{\sin }^{2}}\frac{1}{2\sqrt{n}} \right):\frac{1}{{{n}^{3/2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{\sqrt{n}}.\left( \frac{1}{4n} \right) \right).{{n}^{3/2}}=\frac{1}{2}$
Vậy $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$có cùng tính chất.
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{3/2}}}}}$ Hội tụ.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.    

t)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\ln \frac{1}{n}}{{{n}^{2}}}}=-\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{-\ln \frac{1}{n}}{{{n}^{2}}}}$        (1)
Xét $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{-\ln \frac{1}{n}}{{{n}^{2}}}}$    (2)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{-\ln \frac{1}{n}}{{{n}^{2}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(2) là chuỗi dương.
Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x}+\ln \frac{1}{x}x\ge 1$
Ta có $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+-\frac{1}{{{x}^{2}}}:\frac{1}{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}>0,\forall x\ge 1$
Vậy $f(x)$là hàm đơn điệu tăng khi $x>1$tức là ${{a}_{n}}=\frac{-\ln \frac{1}{n}}{{{n}^{2}}}<\frac{\sqrt{n}}{{{n}^{2}}}=\frac{1}{{{n}^{3/2}}}$ khi $n\to \infty $
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{3/2}}}}$ Hội tụ (Do $\alpha =3/2>1$) nên chuỗi (2) cũng Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Vậy Chuỗi đã cho Hội tụ

u)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n}}$        (1)    
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{n\ln n}>0,\forall n\ge 2$ Vậy (1) là chuỗi dương.
Đặt $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$
 $\Rightarrow f'(x)=\frac{-1}{{{\left( x\ln x \right)}^{2}}}.\left( \ln x+1 \right)<0,\forall x\ge 2$
Vậy $f(x)$là hàm đơn điệu giảm với $\forall x\in \left[ 2,+\infty ) \right.$
Vậy $\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n}}$ và TPSR $\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{x\ln x}}$ sẽ có cùng Tính chất.
Mà
 $\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{x\ln x}}=\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{2}^{a}{\frac{d(\ln x)}{\ln x}}=\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \ln x \right)\left| \begin{matrix}
   a  \\
   2  \\
\end{matrix}=\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \ln a \right) \right.-\ln \left( \ln 3 \right)=+\infty $
Vậy TPSR phân kỳ nên chuỗi (1) cũng phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân.

v)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}}=\frac{1}{2\ln 2.\ln (\ln 2)}+\sum\limits_{n=3}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}}$        
Xét  $\sum\limits_{n=3}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}>0,\forall n\ge 3$ Vậy (1) là chuỗi dương.
Đặt $f(x)=\frac{1}{x\ln x\ln (\ln x)}$
 $\Rightarrow f'(x)=\frac{-1}{{{\left( x\ln x\ln (\ln x) \right)}^{2}}}.\left( \ln x\ln (\ln x)+x\left( \frac{\ln (\ln x)}{x}+\ln x.x\ln x\ln (\ln x)\frac{1}{x\ln x} \right) \right)$
$=\frac{-\left( \ln x\ln (\ln x)+\ln (\ln x)+\ln x\ln (\ln x) \right)}{{{\left( x\ln x\ln (\ln x) \right)}^{2}}}<0,\forall x\ge 3$
Vậy $f(x)$là hàm đơn điệu giảm với $\forall x\in \left[ 3,+\infty ) \right.$
Vậy $\sum\limits_{n=3}^{\infty }{\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}}$ và TPSR $\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dx}{x\ln x\ln (\ln x)}}$ sẽ có cùng Tính chất.
Mà
 $\begin{align}
  & \int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dx}{x\ln x\ln (\ln x)}}=\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{3}^{a}{\frac{d(\ln x)}{\ln x\ln (\ln x)}}=\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{3}^{a}{\frac{d(\ln (\ln x))}{\ln (\ln x)}} \\ 
 & =\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \ln (\ln x) \right)\left| \begin{matrix}
   a  \\
   3  \\
\end{matrix}=\underset{a\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \ln \left( \ln a \right) \right) \right.-\ln \left( \ln \left( \ln 3 \right) \right)=+\infty  \\ 
\end{align}$
Vậy TPSR phân kỳ nên chuỗi (1) cũng phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân.
Vậy chuỗi đã cho cũng phân kỳ.
        
w*)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{n}^{2}}\left[ {{\left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}^{2}}-1 \right]}$    (1)
Ta có 
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}\left[ {{e}^{2\ln \left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}}-1 \right]=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}\left[ {{e}^{\frac{2}{{{n}^{2}}}}}-1 \right]=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}.\frac{2}{{{n}^{2}}}=2\ne 0$
Vậy chuỗi đã cho Phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi Hội tụ.
x*)$\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{\left( \ln (\ln n) \right)}^{\ln n}}}}$    (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{{{\left( \ln (\ln n) \right)}^{\ln n}}}>0,\forall n\ge 2\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Ta sẽ chứng minh ${{a}_{n}}<\frac{1}{{{n}^{2}}},$khi $n\to \infty $
Ta có ${{\left( \ln (\ln n) \right)}^{\ln n}}={{e}^{\ln n.\ln \left( \ln (\ln n) \right)}}$
Xét $f(x)=\ln x.\ln (\ln (\ln x))-2\ln x=\ln x\left( \ln (\ln (\ln x))-2 \right)\ge 0$với $\forall x\ge {{e}^{{{e}^{{{e}^{2}}}}}}$ 
(Do $\ln (\ln (\ln x))=2\Leftrightarrow \ln (\ln x)={{e}^{2}}\Leftrightarrow \ln x={{e}^{{{e}^{2}}}}\Leftrightarrow x={{e}^{{{e}^{{{e}^{2}}}}}}$)
Vậy tức là khi $x\to \infty $ta có:
$\ln x.\ln (\ln (\ln x))>2\ln x\Leftrightarrow {{e}^{\ln x.\ln (\ln (\ln x))}}>{{e}^{2\ln x}}\Leftrightarrow {{\left( \ln (\ln x) \right)}^{\ln x}}>{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{\left( \ln (\ln x) \right)}^{\ln x}}}<\frac{1}{{{n}^{2}}}$
Vậy khi $n\to \infty $ta cũng có được ${{a}_{n}}<\frac{1}{{{n}^{2}}}$
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}}$ Hội tụ.
Vậy chuỗi đã cho Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1.

y*)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{e}^{n}}n!}{{{n}^{n}}}}$        (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{{{e}^{n}}n!}{{{n}^{n}}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét $\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{{{e}^{n+1}}(n+1)!}{{{(n+1)}^{n+1}}}:\frac{{{e}^{n}}n!}{{{n}^{n}}}=\frac{{{e}^{n+1}}(n+1)!{{n}^{n}}}{{{(n+1)}^{n}}.(n+1)n!}=\frac{e{{n}^{n}}}{{{(n+1)}^{n}}}=\frac{e}{{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}}$
Với $\forall n\ge 1\Rightarrow \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}>1$ có nghĩa là dãy $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=1}^{\infty }$ là dãy tăng.
Mặt khác ${{a}_{1}}=\frac{{{e}^{1}}.1!}{{{1}^{1}}}=e>0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}>e\ne 0$
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ.    
Lưu ý: Giới hạn $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e$ nhưng biểu thức $\left( 1+\frac{1}{n} \right)$ luôn nhỏ hơn $e$. Vậy nên $\frac{e}{{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}}>1$. 

z*)$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}$        (1)
Ta có ${{a}_{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}>0,\forall n\ge 1\Rightarrow $(1) là chuỗi dương.
Xét ${{b}_{n}}=\frac{1}{n}$. Ta có
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}:\frac{1}{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$
+) $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{1/n}}={{e}^{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln n}{n}}}={{e}^{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}}}={{e}^{0}}=1$
$\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=1$.
Vậy $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}$và $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}$có cùng tính chất.
Mà $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$ Phân kỳ.
Vậy chuỗi đã cho Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
 

Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn! Nhận ngay nhiều tải liệu giải tích III được cập nhật mới nhất tại Góc ôn thi HUST - tài liệu và đề thi